💯 Математический анализ (1), Математический анализ (ответы на тест Синергия / МТИ / МосАП, январь 2023)

Математический анализ

• ответы на 74 вопроса
• результат 90...100 баллов из 100
• вопросы отсортированы по алфавиту

Математический анализ (1)

1. Важно!. Информация по изучению курса
2. Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция.
3. Тема 2. Теория пределов
4. Тема 3. Предел функции. Непрерывность функции. Разрывы функций.
5. Тема 4. Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых величин.
6. Тема 5. Дифференцирование функций
7. Тема 6. Дифференцирование функций (продолжение)
8. Тема 7. Дифференциал функции.
9. Тема 8. Аналитические приложения дифференцируемых функций

Математический анализ

1. Важно!. Информация по изучению курса
2. Тема 9. Экстремум функции
3. Тема 10. Неопределенный интеграл. Основные свойства. Таблица неопределенных интегралов. Метод непосредственного интегрирования
4. Тема 11. Неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования
5. Тема 12. Определенный интеграл
6. Тема 13. Приложения определенного интеграла
7. Тема 14. Функции нескольких переменных
8. Тема 15. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
9. Тема 16. Дифференцирование сложных, неявных и параметрически заданных функций нескольких переменных
10. Тема 17. Экстремум функций нескольких (двух) переменных

Абсциссами точек перегиба графика функции y = x³ / 6 - x² / 2 являются:

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 0
• 1
• 2
• 3
• 4

Абсциссами точек перегиба графика функции y = x³ являются:

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1
• 2
• 3
• 0
• 4

Выберите правильный ответ на вопрос. Производная функции [u(x) / c]', где с — действительное число, равна

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1) u'(x) / c'
• 2) cu'(x)
• 3) −u'(x) / c
• 4) u'(x) / c
• 5) u'(x) / c²

Вычислить ∫ dx / (a² + x²), x=a..a√3

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• π / 2a
• π / 3a
• π / 12a
• π / 4a
• π / 6a

Вычислить ∫ sin2x, x=0..π/4

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1
• 0
• 2
• 3/2
• 1/2

Вычислить ∫ x³dx, x=1..3

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 10
• 15
• -20
• -10
• 20

Вычислить ∫ xe^(x²), x=0..1

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• е –1
• 2е –1
• 3е +1
• (e + 1) / 2
• (e − 1) / 2

Вычислить ∫ xeˣdx, x=0..1

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 0
• 2
• 1
• 3
• 4

Геометрически первая производная от функции, если она существует, есть

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• Синус угла наклона касательной к оси ОХ
• Косинус угла наклона касательной к оси ОХ
• Тангенс угла наклона касательной к оси ОХ
• Котангенс угла наклона касательной к оси ОХ

Дифференциал функции y = x³ + 3x² + 3x равен

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• (6x⁴ + 3x³ + 3x³)dx
• (3x² + 6x + 3)dx
• (3x² + 6x)dx
• (x⁴ / 4 + x³ + 3 ⋅ x² / 2)dx
• (x⁴ + 3x + 3)dx

Достаточными условиями существования производной непрерывной функции в точке являются:

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• Существование хотя бы одной односторонней производной
• Существование двух односторонних производных
• Существование и равенство двух односторонних производных

Заменив приращение функции дифференциалом, приближенно найти arctg 1,05.

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 0,75
• 0,69
• 0,81
• 0,80
• 0,65

Заменив приращение функции дифференциалом, приближенно найти sin 31°.

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 0,500
• 0,451
• 0,35
• 0,515
• 0,491

Из непрерывности функции

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• следует ее дифференцируемость
• еще не следует ее дифференцируемость
• следует разрывность первой производной
• следует непрерывность первой производной

Какая из заданных функций является обратной для функции Y=5x-3:

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• x = (y − 3) / 5;
• x = (y + 3) / 5;
• x = (5y − 3) / 5;
• x = (3y − 5) / 5;
• x = (3y + 5) / 5.

Какая из заданных функций является четной:

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• y = x² − x;
• y = x⁴ − 2x²;
• y = x⁴ − x²;
• y = x + 2;
• y = x.

Наибольшим значением функции y = x² - 2x на отрезке [–1; 1] является:

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• -1
• 3
• 5
• ∞
• 10

Найдите вторую производную заданной функции y = x / (x - 1)

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1) −1 / (x − 1)²
• 2) −1 / (x − 1)³
• 3) 1 / (x − 1)⁴
• 4) 2 / (x − 1)³
• 5) −2 / (x − 1)³

Найдите вторую производную функции у = sin2x.

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 2 sin 2x
• 4 cos 2x
• – 4sin 2x
• 4 sin 2x
• cos 2x

Найти все точки разрыва функции y = (2x - 1) / (x² - 8x + 15) 

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1/2
• 2 и 6
• 1 и 2
• 3 и 5
• 1 и 4

Найти интеграл ∫ ((√x - 1)² / x)dx

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1) x√x − 2√x + ln|x| + c
• 2) x − 4√x + ln|x| + c
• 3) √x − 4x + ln|x| + c
• 4) √x − 2√x + ln|x| + c
• 5) x + 2√x + ln|x| + c

Найти интеграл ∫ (2 / (1 + x²) - 3 / √(1 − x²))dx

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1) 2arctgx − 3arcsinx + c
• 2) 1/2 ⋅ arctgx + arcsinx + c
• 3) 2arctgx − arccosx + c
• 4) 2arcsinx − 3arctgx + c
• 5) 2arccosx − 3arctgx + c

Найти интеграл ∫ (4 - 3x)e⁻²ˣdx

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1) x / 4 ⋅ e⁻²ˣ + C
• 2) (2x − 3) / 4 ⋅ e⁻²ˣ + C
• 3) 3xe⁻²ˣ + C
• 4) (5 − 6x) / 4 ⋅ e⁻²ˣ + C
• 5) (6x − 5) / 4 ⋅ e⁻²ˣ + C

Найти интеграл ∫ cos2xdx

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• −1/2 ⋅ sin2x + C
• 1/2 ⋅ sinx + C
• cos²2x / 2 + C
• 1/2 ⋅ sin2x + C
• sin2x + C

Найти интеграл ∫ cos²xdx

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• cos³x / 3 + c
• 1/2 ⋅ x + 1/4 ⋅ sin2x  + c
• 1/2 ⋅ cos³x + c
• x + sin2x  + c
• 1/2 ⋅ x − 1/4 ⋅ sin2x  + c

Найти интеграл ∫ dx / √(4 - x²)

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• arcsinx + c
• arccosx + c
• arcsin(x/2) + c
• arctg(x/2) + c
• 1/2 ⋅ arctg(x/2) + c

Найти интеграл ∫ x√(3 - 5x)dx

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• (5x + 2)√(3 − 5x) + C
• (5x − 3)√(3 − 5x) + C
• 2/125 ⋅ (5x + 2)(5x − 3)√(3 − 5x) + C
• (5x + 2)(5x − 3)√(3 − 5x) + C
• (5x + 2)(5x + 3)√(3 − 5x) + C

Найти интервалы монотонного убывания функции y = x³ - 3x²

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• (–2; 2);
• (1; 2);
• (–1; 1);
• (0; 2);
• (0; 3).

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями x = y² и у = –х + 2.

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 4,5 (кв.ед.);
• 2,5 (кв.ед.);
• 3 (кв.ед.);
• 2 (кв.ед.);
• 3,5 (кв.ед.).

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y = √(lnx), y = 0, x = e вокруг оси Ох.

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 2π (куб. ед.);
• 3π (куб. ед.);
• π (куб. ед.);
• 4π (куб. ед.);
• 5π (куб. ед.).

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y = lnx, y = 0, x = e вокруг оси Ох.

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1
• 2
• 3
• e
• 5

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y = x² - 4x + 5; y = 5.

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 8 2/3
• 10 2/3 (кв.ед.);
• 7 1/3 (кв.ед.);
• 10;
• 7 2/3(кв.ед.).

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y = x² - 9, у = 0.

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• –36 кв.ед.;
• 18 кв.ед.;
• 54 кв.ед.;
• 36 кв.ед.;
• 26 кв.ед.

Найти предел на основании свойств пределов lim (4x³ - 2x² + 5x - 1)

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 0
• ∞ 
• 26
• 33
• 18

Найти предел lim (√(1 + x) - 1) / sin3x, x⟶0

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 0
• ∞
• 1
• 1/6
• 2

Найти предел lim (1 - cos5x) / x², x⟶0

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 0
• ∞
• 1
• 2.5
• 12.5

Найти предел lim (1 + 5 / x)²ˣ, x⟶∞

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 0
• ∞
• 1
• eˣ
• e¹⁰

Найти предел lim (1 + x)^(2/x), x⟶0 

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 0
• ∞
• 1
• e²
• e⁻²

Найти предел lim (3x² + 4x - 3) / (6x² + 5x + 7), x⟶+∞

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• ∞
• 0
• 1/2
• 2
• 5

Найти предел lim (e^ax - e^bx) / sinx, x⟶0 

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• а + b
• ∞
• −∞
• а – b
• 1

Найти предел lim sin10x / x, x⟶0

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 0
• 1
• 10
• ∞
• 5

Найти предел lim tg5x / x, x⟶0

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 0
• ∞ 
• 1
• 5
• 3

Найти предел lim x / arctgx, x⟶0

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 0
• ∞
• 3
• 1
• 2

Найти предел, пользуясь правилом Лопиталя: lim (eˣ - 1) / (sin2x), x⟶0

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 0
• ∞
• −∞
• 2
• 0.5

Найти предел, пользуясь правилом Лопиталя: lim x / lnx, x⟶0

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• ∞
• -∞ 
•  1
•  0
•  -1

Найти предел: lim lnx / (1 - x²), x⟶1

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 3
• 2
• −1/3
• 1/3
• ∞

Найти производную y'ₓ от функции, заданной параметрически {x = atcost; y = atsint, где t ∈ [0; 2π]

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• (asint + tcost) / (acost + tsint)
• (sint - tcostt) / (cost + tsintt)
• (sint + atcost) / (cost − atcost)
• (sint + tcostt) / (cost − tsintt)
• (sint + tcost) / (cost − tsint)²

Найти третий дифференциал функции y = 3x² - 5x + 2

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 3dx³
• 6xdx³
• 2dx³
• 0
• dx³

Наклонной асимптотой графика функции y = x³ / (x² - 3) является:

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

•  у = 0
•  у = 3х
•  у = х
•  у =2х
• ∅

Нормаль к графику функции y = eˣ в точке M₀(0; 1) определяется уравнением

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• у = х + 1
• у = 2х – 1
• у = 2х
• у = –х + 1
• у = х – 1

Нормаль к графику функции y = x² в точке M₀(1; 1) определяется уравнением

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• у = х + 2
• у = х – 2
• y = −1/2 ⋅ x − 3/2
• y = −1/2 ⋅ x + 3/2
• y = 1/2 ⋅ x − 3/2

Областью определения функции у = arc sin x является:

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• x ∈ (−∞; +∞);
• x ∈ [0; +∞);
• x ∈ [−1; 1];
• x ∈ (−1; 1);
• x ∈ [0; 1].

Областью определения функции y = (5 - x) / √(x² - 8x + 7) является: 3.jpg

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• x ∈ (−∞; +∞);
• x ∈ (1; 7);
• x ∈ [1; 7);
• x ∈ (−∞; 1) ⋃ (7; +∞);
• x ∈ (−∞; 1] ⋃ [7; +∞).

Приращенное значение функции y = x² при Δx = 0,5 в т. х = 3 равно

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 9
• 0.5
• 12.25
• 3.25
• 6.25

Производная функции у = arcsin3x равна

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1) 1 / √(1 − x²)
• 2) 3 / √(1 − 9x²)
• 3) 1 / √(1 − 9x²)
• 4) 3x / √(1 − 9x²)
• 5) x / √(1 − 9x²)

Производная функции у = tg 3x равна

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1) 3 sec² 3x
• 2) −3 sec² 3x
• 3) 3 tg * secx
• 4) −3 tg * secx
• 5) 3 ctg 3x

Производная функции у(х) = с равна

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• с
• 1
• 0
• х
• сх

Производная функции у(х) = х равна

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 0
• х
• x²
• 1
• 2х

Производная функции y = eˣ / (x + 1) равна

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• eˣ
• −eˣ / (x + 1)²
• −e / (x + 1)²
• +eˣ / (x + 1)²
• xeˣ / (x + 1)²

Производная функции y = log₅(3x² - 5) равна

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1) 1 / (3x² − 5)
• 2) 1 / (3x² − 5)ln5
• 3) 3x² − 5
• 4) 6x / (3x² − 5)ln5
• 5) 6x / (3x² − 5)

Производная функции y = sin 3x равна

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• –3cos 3x
• cos 3x
• 3sin 3x
• 3cos 3x
• –3sin 3x

Производная функции y = x / (eˣ + 1) при х = 0 равна

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 0
• 1
• 1/2
• 3
• -1

Разложить число 10 на два слагаемых, так чтобы произведение было их наибольшим.

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 3; 7
• 6; 4
• 1; 9
• 5; 5
• 2; 8

Сколько однозначных функций задано уравнением x² + y² = 4

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 0
• 1
• 2
• 3
• 4

Сколько однозначных функций задано уравнением y² = x

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 0
• 1
• 2
• 3
• 4

Сравнить бесконечно малую α и β = α³ Бесконечно малая β по сравнению с бесконечно малой α является :

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• одного порядка;
• второго порядка;
• третьего порядка;
• бесконечно большой;
• эквивалентной.

Стационарными точками функции x³ / 3 - 11 / 2 ⋅ x² + 30x + 2 являются:

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 2,3
• 5,6
• 1,3
• 0,2
• 4,8

Стационарными точками функции y = e^(x² - 2x)  являются:

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 2
• 3
• 4
• 1
• -1

Стационарными точками функции y = x³ / 3 - 3x² + 5x - 2 являются:

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 0,1
• 1,5
• 2,3
• 1,2
• 3,4

Точками разрыва заданной функции y = (2x - 1) / (x² - 8x + 15) являются:

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1/2
• 1, 2
• 2, 4
• 3, 5
• 0, 2

Точками разрыва функции y = 5 / (sinx - 1/2) являются

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 2πk;
• πk;
• (−1)ᵏ ⋅ π/6 + πk;
• π/2 + πk;
• (−1)ᵏ ⋅ π/4 + πk.

Функция y = (x - 1) / (x² - 5x + 7) является:

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• трансцендентной,
• иррациональной,
• целое рациональное,
• правильная рациональная дробь,
• неправильная рациональная дробь.

Функция y = 4x⁵ - 3x + 2 является:

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• трансцендентной,
• иррациональной,
• целое рациональное,
• правильная рациональная дробь,
• неправильная рациональная дробь.

Частным значение функции y = x² + 2 при х = 3 является:

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• -1
• 11
• 0
• -3
• -5