Численное дифференцирование

Цель работы: приобретение практических навыков решения задачи численного дифференцирования.

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

1.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

При решении практических задач часто нужно найти производные указанных

порядков от функции y = f(x), заданной таблично. Возможно также, что в силу сложности аналитического выражения функции непосредственно дифференцирование ее затруднительно. В этих случаях обычно прибегают к приближенному дифференцированию.

1.2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Для вывода формул приближенного дифференцирования заменяют данную

функцию f(x) на интересующем отрезке [a;b] интерполирующей функцией  (чаще всего полиномом), а затем полагают

  (1),    

Аналогично поступают при нахождении производных высших порядков от

функции f(x).

Если для интерполирующей функции Pn(x) известна погрешность

 (2)

то погрешность производной выражается формулой

То же самое справедливо и для производных высших порядков.

Приближенное дифференцирование в начале и в конце таблицы обычно выполняется с использованием первой и второй интерполяционных формул Ньютона.

В середине таблицы используют формулу Стирлинга. Однако, если при этом число точек n достаточно для получения производной с заданной точностью, применяют также первую или вторую интерполяционные формулы Ньютона.

1.2.1. Первая интерполяционная формула Ньютона

,(3)

где ;

 - шаг таблицы;

 - конечная разность i-го порядка.

Формула (3) получена из первой интерполяционной формулы Ньютона. При

вычислении производной в фиксированной точке в качестве Х0 следует брать ближайшее табличное значение аргумента.

Производная в узловых точках вычисляется значительно проще, так как в

этом случае Х=Х0 и q=0:

. (4)

Вторая производная определиться из выражения

. (5)

1.2.2. Вторая интерполяционная формула Ньютона

. (6)

Для дифференцирования в узловых точках формула (6) принимает вид

 (7)

Вторая производная определиться из выражения

. (8)

1.2.3. Оценка погрешности

Оценку погрешности численного дифференцирования при использовании

формул Ньютона можно выполнять при помощи выражений

. (9)

. (10)

Ход работы

1.                 Используя таблицу конечных разностей из лабораторной работы №2, определим значение первой и второй производной в точках  , используя интерполяционные формулы Ньютона.

2.                 Разработать алгоритм и составить программы для численного дифференцирования.

вариант 11