Дан функционал F[f] = integral_0^1 (f'(x))^2 dx на множестве гладких функций с фиксированными значениями…значениями на границе, сформулируйте задачу на вариации и найдите уравнение Эйлера-Лагранжа для экстремалей
Ответ на вопрос
Задача на вариации: найти гладкую функцию \(f\) на \([0,1]\) с фиксированными краевыми значениями \(f(0)=\alpha,\; f(1)=\beta\), минимизирующую функционал
\[
F[f]=\int_0^1 (f'(x))^2\,dx.
\]
Лагранжиан \(L(x,f,f')=(f')^2\). По уравнению Эйлера—Лагранжа
\[
\frac{d}{dx}\Big(\frac{\partial L}{\partial f'}\Big)-\frac{\partial L}{\partial f}=0
\]
получаем
\[
\frac{d}{dx}(2f')-0=0\quad\Rightarrow\quad f''(x)=0.
\]
Общее решение: \(f(x)=ax+b\). С учётом граничных условий \(b=\alpha,\; a=\beta-\alpha\), следовательно экстремаль
\[
f(x)=\alpha+(\beta-\alpha)x.
\]
Второе вариационное приращение для возмущений \(\eta\) с \(\eta(0)=\eta(1)=0\):
\[
\delta^2 F=\int_0^1 2(\eta'(x))^2\,dx>0,
\]
так что найденная функция даёт строгое минимум.
Еще Ответы на тесты / ТПУ / Безопасность жизнедеятельности / 54 вопроса / Тесты 1-9 + Тесты 11-12нет правильного ответа оптимальные, допустимые, вредные степеней 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, опасные (экстремаль¬ные) допустимые, вредные степеней 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, опасные (экстремальные) допустимые степеней
Я так хочу, чтобы лето не кончалось...Таинственные пещеры и голубые озера, густые леса и невероятные горы. Здесь придется по вкусу не только экстремалам, но и любящим размеренный отдых. Отключайте телефоны и наслаждайтесь природой. Кавказские минеральные
Интервью с BellaDonnaсудмедэкспертом. Почему, поняла только в зрелом возрасте – при всей осторожности в душе всегда была экстремалом. Не срослось – в хирурги не взяли по зрению, в космонавты – в целом по здоровью, а в судмедэксперты
Изопериметрическая задача\int\limits_{x_0}^{x_1}G\left(x,y,y'\right), dx =C,\quad y(x_0)=y_0,,,y(x_1)=y_1
$
У функционала $J$ может и не быть экстремалей в смысле задачи с фиксированными концами. Однако, на множестве кривых $y(x)$, удовлетворяющих условию
Что такое экстремаль?Что такое экстремаль?
Ответ на вопрос
Интегральная кривая дифференциального уравнения Эйлера в вариационном исчислении.
Еще