Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Производная показательной функции

Содержание

  1. 1. Производная функции f(x)=a в степени x
  2. 2. Некоторые свойства и практические примеры

Найдем производную функции f(x)=ax,a>0,a0 и приведем некоторые ее свойства и практические примеры использования.

Производная функции f(x)=a в степени x

Как известно, производной функции f(x), определенной в точке x0 и в некотором интервале, содержащем x0, называют предел следующего вида:

f(x0)=dfdxx=x0=limΔx0f(x0+Δx)f(x0)Δx

если только такой предел существует.

Таким образом, для вычисления производной функции f(x) необходимо последовательно:

  1. Записать выражение для приращения функции:

Δf(x0)=f(x0+Δx)f(x0)

  1. Упростить, по возможности, дробь

Δf(x0)Δx=f(x0+Δx)f(x0)Δx

  1. Вычислить предел дроби при Δx0 и записать полученное выражение для производной.

Применим этот алгоритм к вычислению производной показательной функции:

  • Записываем приращение функции:

Δf(x0)=f(x0+Δx)f(x0)=ax0+Δxax0=ax0(aΔx1)

  • Получаем дробь:

Δf(x0)Δx=ax0aΔx1Δx

  • Вычисляем производную:

f(x0)=limΔx0ax0aΔx1Δx=ax0limΔx0aΔx1Δx

Используем далее представление показательной функции с помощью экспоненты:

ax=elnax

Тогда:

f(x0)=ax0limΔx0elnaΔx1Δx=lnaax0limt0et1t

где t=lnaΔx

Для преобразования et используем представление числа e2,71828 (числа Непера или числа Эйлера) в виде предела:

e=limn(1+1n)n

Следовательно:

et=limn(1+tn)n

Используем для выражения под знаком предела бином Ньютона:

(1+tn)n=1+Cn1tn+Cn2(tn)2++Cnn(tn)n

Тогда:

f(x0)=lnaax0limt0limn(1+Cn1tn+Cn2(tn)2++Cnn(tn)n)1t=lnaax0limt0(limnCn1tn+Cn2(tn)2++Cnn(tn)nt)=lnaax0limt0limn(Cn11n+Cn2t21n2++Cnntn1nn)=lnaax0limnlimt0(n1n+Cn2t21n2++Cnntn1nn)=lnaax0(1+limnlimt0(Cn2t21n2++Cnntn1nn))

Учитывая, что:

limt0(Cn2t21n2++Cnntn1nn)=0

получаем:

f(x0)=lnaax0(1+0)

Таким образом:

f(x)=(ax)=axlna

Как и следовало ожидать, при a=e производная экспоненциальной функции f(x)=ex равна этой же функции:

(ex)=exlne=ex

Производная показательной функции.png

Некоторые свойства и практические примеры

  • Угол наклона α касательной к графику функции y=ax в точке x=x0 определяется соотношением:

tgα=y(x0)=axlna

Здесь угол α это угол между касательной и осью Ox отсчитываемый от положительного направления Ox против часовой стрелки.

Производная функции f(x)=ax в точке x0=0 равна:

f(x0)=(ax)x0=0=a0lna=lna

  • Производная сложной функции

y=ag(x)

согласно правил дифференцирования, равна:

y=g(x)ag(x)lna

  • Производная сложной функции

y=u(v), где v=ax

равна:

y=uvv=uvaxlna

Пример 1

Зная производную экспоненты и используя правило для дифференцирования сложной функции, найти производную показательной функции.

Решение

Воспользуемся формулой для производной экспоненты:

(ex)=ex

Тогда:

(eg(x))=g(x)eg(x)

Полагая:

g(x)=xlna

находим:

(exlna)=(xlna)exlna=lnaexlna

Учитывая, что

exlna=ax

получаем:

(ax)=axlna

Как и следовало ожидать, результат совпадает с полученным ранее.

Пример 2

Найти производную функции

f(x)=23x22x

Решение

f(x)=(23x22x)=(3x22x)23x22xln2=(6x2)23x22xln2

Пример 3

Найти производную функции

f(x)=sinx2x

Решение

Полагаем x2x=v

Тогда

f(x)=(sinv)vv=cosv(x2x)=cos(x2x)(e2xlnx)=cos(x2x)(2xlnx)e2xlnx=e2xlnxcos(x2x)(2lnx+2)=x2xcos(x2x)(2lnx+2)

Не знаете, где заказать написание статьи по математике на заказ? Авторы Студворк к вашим услугам!

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир
Ошибка при получении статей
×
Ошибка при получении статей
×