Найдем производную функции f(x)=ax,a>0,a≠0 и приведем некоторые ее свойства и практические примеры использования.
Производная функции f(x)=a в степени x
Как известно, производной функции f(x), определенной в точке x0 и в некотором интервале, содержащем x0, называют предел следующего вида:
f′(x0)=dfdx∣x=x0=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx
если только такой предел существует.
Таким образом, для вычисления производной функции f(x) необходимо последовательно:
- Записать выражение для приращения функции:
Δf(x0)=f(x0+Δx)−f(x0)
- Упростить, по возможности, дробь
Δf(x0)Δx=f(x0+Δx)−f(x0)Δx
- Вычислить предел дроби при Δx→0 и записать полученное выражение для производной.
Применим этот алгоритм к вычислению производной показательной функции:
- Записываем приращение функции:
Δf(x0)=f(x0+Δx)−f(x0)=ax0+Δx−ax0=ax0(aΔx−1)
- Получаем дробь:
Δf(x0)Δx=ax0aΔx−1Δx
- Вычисляем производную:
f′(x0)=limΔx→0ax0aΔx−1Δx=ax0limΔx→0aΔx−1Δx
Используем далее представление показательной функции с помощью экспоненты:
ax=elna⋅x
Тогда:
f′(x0)=ax0limΔx→0elna⋅Δx−1Δx=lna⋅ax0limt→0et−1t
где t=lna⋅Δx
Для преобразования et используем представление числа e≈2,71828 (числа Непера или числа Эйлера) в виде предела:
e=limn→∞(1+1n)n
Следовательно:
et=limn→∞(1+tn)n
Используем для выражения под знаком предела бином Ньютона:
(1+tn)n=1+Cn1tn+Cn2(tn)2+…+Cnn(tn)n
Тогда:
f′(x0)=lna⋅ax0limt→0limn→∞(1+Cn1tn+Cn2(tn)2+…+Cnn(tn)n)−1t=lna⋅ax0limt→0(limn→∞Cn1tn+Cn2(tn)2+…+Cnn(tn)nt)=lna⋅ax0limt→0limn→∞(Cn11n+Cn2t2−1n2+…+Cnntn−1nn)=lna⋅ax0limn→∞limt→0(n1n+Cn2t2−1n2+…+Cnntn−1nn)=lna⋅ax0(1+limn→∞limt→0(Cn2t2−1n2+…+Cnntn−1nn))
Учитывая, что:
limt→0(Cn2t2−1n2+…+Cnntn−1nn)=0
получаем:
f′(x0)=lna⋅ax0(1+0)
Таким образом:
f′(x)=(ax)′=axlna
Как и следовало ожидать, при a=e производная экспоненциальной функции f(x)=ex равна этой же функции:
(ex)′=exlne=ex
Некоторые свойства и практические примеры
- Угол наклона α касательной к графику функции y=ax в точке x=x0 определяется соотношением:
tgα=y′(x0)=axlna
Здесь угол α это угол между касательной и осью Ox отсчитываемый от положительного направления Ox против часовой стрелки.
Производная функции f(x)=ax в точке x0=0 равна:
f′(x0)=(ax)x0=0′=a0lna=lna
- Производная сложной функции
y=ag(x)
согласно правил дифференцирования, равна:
y′=g′(x)ag(x)lna
- Производная сложной функции
y=u(v), где v=ax
равна:
y′=uv′⋅v′=uv′⋅axlna
Зная производную экспоненты и используя правило для дифференцирования сложной функции, найти производную показательной функции.
Решение
Воспользуемся формулой для производной экспоненты:
(ex)′=ex
Тогда:
(eg(x))′=g′(x)eg(x)
Полагая:
g(x)=xlna
находим:
(exlna)′=(xlna)′exlna=lna⋅exlna
Учитывая, что
exlna=ax
получаем:
(ax)′=axlna
Как и следовало ожидать, результат совпадает с полученным ранее.
Найти производную функции
f(x)=23x2−2x
Решение
f′(x)=(23x2−2x)′=(3x2−2x)′⋅23x2−2xln2=(6x−2)⋅23x2−2xln2
Найти производную функции
f(x)=sinx2x
Решение
Полагаем x2x=v
Тогда
f′(x)=(sinv)v′⋅v′=cosv⋅(x2x)′=cos(x2x)⋅(e2xlnx)′=cos(x2x)⋅(2xlnx)′⋅e2xlnx=e2xlnxcos(x2x)⋅(2lnx+2)=x2xcos(x2x)⋅(2lnx+2)
Не знаете, где заказать написание статьи по математике на заказ? Авторы Студворк к вашим услугам!
Комментарии