Найдем производную функции f(x)=ex и приведем некоторые ее свойства и практические примеры использования.
Производная экспоненты
Как известно, производной функции f(x), определенной в точке x0 и в некотором интервале, содержащем x0 , называют предел следующего вида:
f′(x0 )=dxdf ∣∣∣ x=x0 =Δx→0lim Δxf(x0 +Δx)−f(x0 ) ,
если только такой предел существует.
Таким образом, для вычисления производной функции f(x) необходимо последовательно:
- Записать выражение для приращения функции:
Δf(x0 )=f(x0 +Δx)−f(x0 )
- Упростить, по возможности, дробь
ΔxΔf(x0 ) =Δxf(x0 +Δx)−f(x0 )
- Вычислить предел дроби при Δx→0 и записать полученное выражение для производной.
Применим этот алгоритм к вычислению производной экспоненты:
- Записываем приращение функции:
Δf(x0 )=f(x0 +Δx)−f(x0 )=ex0 +Δx−ex0 =ex0 (eΔx−1)
ΔxΔf(x0 ) =ex0 ΔxeΔx−1
f′(x0 )=Δx→0lim ex0 ΔxeΔx−1 =ex0 Δx→0lim ΔxeΔx−1
Для преобразования eΔx используем представление числа e≈2,71828 (числа Непера или числа Эйлера) в виде предела:
e=n→∞lim (1+n1 )n
Следовательно:
eΔx=n→∞lim (1+nΔx )n
Используем для выражения под знаком предела бином Ньютона:
(1+nΔx )n=1+Cn1 nΔx +Cn2 (nΔx )2+…+Cnn (nΔx )n
Тогда:
f′(x0 )=ex0 Δx→0lim Δxn→∞lim (1+Cn1 nΔx +Cn2 (nΔx )2+…+Cnn (nΔx )n)−1 =
=ex0 Δx→0lim (n→∞lim ΔxCn1 nΔx +Cn2 (nΔx )2+…+Cnn (nΔx )n )=
=ex0 Δx→0lim n→∞lim (Cn1 n1 +Cn2 n2(Δx)2−1 +…+Cnn nn(Δx)n−1 )=
=ex0 n→∞lim Δx→0lim (nn1 +Cn2 n2(Δx)2−1 +…+Cnn nn(Δx)n−1 )=
=ex0 (1+n→∞lim Δx→0lim (Cn2 n2(Δx)2−1 +…+Cnn nn(Δx)n−1 ))
Учитывая, что:
Δx→0lim (Cn2 n2(Δx)2−1 +…+Cnn nn(Δx)n−1 )=0,
получаем:
f′(x0 )=ex0 (1+0)
Таким образом:
f′(x)=(ex)′=ex
Как видно, производная экспоненциальной функции f(x)=ex равна этой же функции.
Некоторые свойства и практические примеры
Угол наклона α касательной к графику функции y=ex в точке x=x0 определяется соотношением:
tgα=y′(x0 )=ex0
Здесь угол α это угол между касательной и осью Ox, отсчитываемый от положительного направления Ox против часовой стрелки.
Производная функции f(x)=ex в точке x=0 равна 1:
f′(0)=(ex)x=0′ =e0=1
Это означает, что касательная к графику в точке M(0;1) с координатами: x0 =0,y0 =e0=1 составляют с осью Ox угол 45∘(tg45∘=1)
Производная сложной функции y=eg(x) согласно правил дифференцирования, равна:
y′=g′(x)eg(x)
Производная сложной функции y=u(v), где v=ex равна:
y′=uv′ ⋅v′=uv′ ⋅ex
Найти производную функции
f(x)=ex2+2x
Решение
f′(x)=(ex2+2x)′=(x2+2x)′⋅ex2+2x=(2x+2)ex2+2x
Найти производную функции
f(x)=sine2x
Решение
Полагаем: e2x=v
Тогда:
f′(x)=(sinv)v′ ⋅v′=cosv⋅(e2x)′=cos(e2x)⋅(2x)′e2x=2e2xcos(e2x)
Найти точку M(x0 ;y0 ) на графике функции y=ex в которой касательная к этому графику составляет с осью Ox угол в 60∘.
Решение
Используя соотношение для угла наклона α касательной:
tgα=f′(x)
для α=60∘ получаем:
tg60∘=f′(x)=ex0
Отсюда находим координату x0 точки M:
ex0 =3 ⇒x0 =ln3
Далее:
y0 =ex0 =eln3 =3
Искомая точка: M(ln3 ;3 )
Тест по теме «Производная экспоненты»
Комментарии