Производная экспоненты

Содержание

  1. 1. Производная экспоненты
  2. 2. Некоторые свойства и практические примеры
  3. 3. Тест по теме «Производная экспоненты»

Найдем производную функции f(x)=exf(x)=e^x и приведем некоторые ее свойства и практические примеры использования.

Производная экспоненты

Как известно, производной функции f(x)f(x), определенной в точке x0x_0 и в некотором интервале, содержащем x0x_0, называют предел следующего вида:

f(x0)=dfdxx=x0=limΔx0f(x0+Δx)f(x0)Δxf^{'}(x_0)=\dfrac{df}{dx}\Bigr|_{x=x_0}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{ f(x_0+ \Delta x)-f(x_0 )}{ \Delta x},

если только такой предел существует.

Таким образом, для вычисления производной функции f(x)f(x) необходимо последовательно:

  • Записать выражение для приращения функции:

Δf(x0)=f(x0+Δx)f(x0)\Delta f(x_0 )=f(x_0+\Delta x)-f(x_0 )

  • Упростить, по возможности, дробь

Δf(x0)Δx=f(x0+Δx)f(x0)Δx\dfrac {\Delta f(x_0)}{\Delta x}=\dfrac {f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

  • Вычислить предел дроби при Δx0\Delta x \to 0 и записать полученное выражение для производной.

Применим этот алгоритм к вычислению производной экспоненты:

  • Записываем приращение функции:

Δf(x0)=f(x0+Δx)f(x0)=ex0+Δxex0=ex0(eΔx1)\Delta f(x_0)= f(x_0+\Delta x)-f(x_0)= e^{x_0+\Delta x}-e^{x_0}=e^{x_0} (e^{\Delta x}-1)

  • Получаем дробь:

Δf(x0)Δx=ex0eΔx1Δx\dfrac {\Delta f(x_0)}{\Delta x}= e^{x_0} \dfrac {e^{\Delta x}-1}{\Delta x}

  • Вычисляем производную:

f(x0)=limΔx0ex0eΔx1Δx=ex0limΔx0eΔx1Δxf'(x_0 )= \lim\limits_{\Delta x \to 0} {e^{x_0} \dfrac {e^{\Delta x}-1}{\Delta x}}= e^{x_0}\lim\limits_{\Delta x \to 0} {\dfrac {e^{\Delta x}-1}{\Delta x}}

Для преобразования eΔxe^{\Delta x} используем представление числа e2,71828e \approx2,71828 (числа Непера или числа Эйлера) в виде предела:

e=limn(1+1n)ne=\lim\limits_{n\to\infty} \Bigl( {1+\dfrac {1}{n}} \Bigr) ^n

Следовательно:

eΔx=limn(1+Δxn)ne^{\Delta x} =\lim\limits_{n\to\infty} \Bigl( {1+\dfrac {\Delta x }{n}} \Bigr) ^n

Используем для выражения под знаком предела бином Ньютона:

(1+Δxn)n=1+Cn1Δxn+Cn2(Δxn)2++Cnn(Δxn)n\Bigl( {1+\dfrac {\Delta x }{n}} \Bigr) ^n=1+C_n^1 \dfrac{\Delta x }{n}+ C_n^2 \Bigl( {\dfrac{\Delta x }{n}}\Bigr)^2+ \ldots + C_n^n \Bigl( {\dfrac{\Delta x }{n}}\Bigr)^n

Тогда:

f(x0)=ex0limΔx0limn(1+Cn1Δxn+Cn2(Δxn)2++Cnn(Δxn)n)1Δx=f'(x_0 )= e^{x_0}\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac {\lim\limits_{n\to\infty} \Bigl( {1+C_n^1 \dfrac{\Delta x }{n}+ C_n^2 \Bigl( {\dfrac{\Delta x }{n}}\Bigr)^2+ \ldots + C_n^n \Bigl( {\dfrac{\Delta x }{n}}\Bigr)^n }\Bigr)-1}{\Delta x } =

=ex0limΔx0(limnCn1Δxn+Cn2(Δxn)2++Cnn(Δxn)nΔx)==e^{x_0}\lim\limits_{\Delta x \to 0}\Bigl( \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac {C_n^1 \dfrac{\Delta x }{n}+ C_n^2 \Bigl( {\dfrac{\Delta x }{n}}\Bigr)^2+ \ldots + C_n^n \Bigl( {\dfrac{\Delta x }{n}}\Bigr)^n }{\Delta x } \Bigr)=

=ex0limΔx0limn(Cn11n+Cn2(Δx)21n2++Cnn(Δx)n1nn)==e^{x_0}\lim\limits_{\Delta x \to 0} \lim\limits_{n\to\infty} \Bigl( {C_n^1 \dfrac{1}{n}+ C_n^2 \dfrac{(\Delta x)^{2-1} }{n^2}+ \ldots + C_n^n \dfrac{(\Delta x)^{n-1} }{n^n}}\Bigr)=

=ex0limnlimΔx0(n1n+Cn2(Δx)21n2++Cnn(Δx)n1nn)== e^{x_0}\lim\limits_{ n\to\infty } \lim\limits_{\Delta x \to 0} \Bigl( {n \dfrac{1}{n}+ C_n^2 \dfrac{(\Delta x)^{2-1} }{n^2}+ \ldots + C_n^n \dfrac{(\Delta x)^{n-1} }{n^n}}\Bigr)=

=ex0(1+limnlimΔx0(Cn2(Δx)21n2++Cnn(Δx)n1nn))= e^{x_0} \Bigl( 1+ \lim\limits_{ n\to\infty } \lim\limits_{\Delta x \to 0} \Bigl( { C_n^2 \dfrac{(\Delta x)^{2-1} }{n^2}+ \ldots + C_n^n \dfrac{(\Delta x)^{n-1} }{n^n}}\Bigr) \Bigr)

Учитывая, что:

limΔx0(Cn2(Δx)21n2++Cnn(Δx)n1nn)=0\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Bigl( { C_n^2 \dfrac{(\Delta x)^{2-1} }{n^2}+ \ldots + C_n^n \dfrac{(\Delta x)^{n-1} }{n^n}}\Bigr)=0,

получаем:

f(x0)=ex0(1+0)f'(x_0 )= e^{x_0}(1+0)

Таким образом:

f(x)=(ex)=exf'(x)= (e^{x})^{'}=e^{x}

Как видно, производная экспоненциальной функции f(x)=exf(x)=e^x равна этой же функции.

экспонента.png

Некоторые свойства и практические примеры

Угол наклона α\alpha касательной к графику функции y=exy=e^x в точке x=x0x=x_0 определяется соотношением:

tgα=y(x0)=ex0\tg \alpha =y^{'} (x_0 )=e^{x_0}

Здесь угол α\alpha это угол между касательной и осью OxOx, отсчитываемый от положительного направления OxOx против часовой стрелки.

Производная функции f(x)=exf(x)=e^x в точке x=0x=0 равна 11:

f(0)=(ex)x=0=e0=1f^{'}(0)=(e^x )_{x=0}^{'}=e^0=1

Это означает, что касательная к графику в точке M(0;1)M(0;1) с координатами: x0=0,y0=e0=1x_0=0, y_0=e^0=1 составляют с осью OxOx угол 45(tg45=1)45^{\circ} (\tg {45^{\circ}}=1)

Производная сложной функции y=eg(x)y=e^{g(x)} согласно правил дифференцирования, равна:

y=g(x)eg(x)y'=g'(x) e^{g(x)}

Производная сложной функции y=u(v)y=u(v), где v=exv=e^x равна:

y=uvv=uvexy'=u'_v \cdot v'=u'_v \cdot e^x

Пример 1

Найти производную функции

f(x)=ex2+2xf(x)=e^{x^2+2x}

Решение
f(x)=(ex2+2x)=(x2+2x)ex2+2x=(2x+2)ex2+2xf'(x)= \Bigl( e^{x^2+2x} \Bigr)'=(x^2+2x)' \cdot e^{x^2+2x}=(2x+2) e^{x^2+2x}

Пример 2

Найти производную функции

f(x)=sine2xf(x)=\sin{e^{2x}}

Решение

Полагаем: e2x=ve^{2x}=v

Тогда:

f(x)=(sinv)vv=cosv(e2x)=cos(e2x)(2x)e2x=2e2xcos(e2x)f'(x) = (\sin v)_v' \cdot v' = \cos v \cdot (e^{2x} )' = \cos (e^{2x}) \cdot (2x)' e^{2x}= 2e^{2x} \cos(e^{2x})

Пример 3

Найти точку M(x0;y0)M(x_0; y_0) на графике функции y=exy=e^x в которой касательная к этому графику составляет с осью OxOx угол в 6060^{\circ}.

Решение

Используя соотношение для угла наклона α\alpha касательной:

tgα=f(x)\tg \alpha =f' (x)

для α=60\alpha =60^{\circ} получаем:

tg60=f(x)=ex0\tg 60^{\circ}= f' (x)=e^{x_0}

Отсюда находим координату x0x_0 точки MM:

ex0=3x0=ln3e^{x_0}= \sqrt 3 \Rightarrow x_0=\ln \sqrt 3

Далее:

y0=ex0=eln3=3y_0=e^{x_0}=e^{\ln \sqrt 3}=\sqrt 3

Искомая точка: M(ln3;3)M(\ln \sqrt 3; \sqrt 3)

Не знаете, где заказать написание статьи по математике на заказ? Авторы Студворк к вашим услугам!

Тест по теме «Производная экспоненты»

Комментарии

Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир