Нахождение обратной матрицы методом алгебраических дополнений

Обратной матрицей является матрица $A^{-1}$, при умножении на исходную матрицу $A$ мы получаем единичную матрицу $E$.

$A · A^{-1} = A^{-1} · A = E$

Онлайн-калькулятор

Алгоритм нахождения обратной матрицы с использованием алгебраических дополнений:

1. Найти определитель (определитель) матрицы $A$. Если определитель $≠ 0$, то обратная матрица существует. Если определитель $= 0$, то обратной матрицы не существует.

2. Найти матрицу миноров $М$.

3. Из матрицы $M$ найдите матрицу алгебраических дополнений $C ^*$.

4. Транспонировать матрицу (поменять местами столбцы) $C ^*$, получить матрицу $C ^{* T}$.

5. Найти обратную матрицу по формуле.

$A^{-1} = \frac {C^{*T}}{detA}$

Рассмотрим данный метод на конкретных примерах.

Пример 1

Дано:

$A= \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$

Решение:

Найдём матрицу алгебраических дополнений.

Вычисляем минор $M_{11}$ и алгебраическое дополнение $A_{11}$

$M_{11} = 3$

$A_{11} = (-1)^{0} \cdot 3 = 3$

Вычисляем минор $M_{12}$ и алгебраическое дополнение $A_{12}$

$M_{12} = 4$

$A_{12} = (-1)^{1} \cdot 4 = \left(-4\right)$

Вычисляем минор $M_{21}$ и алгебраическое дополнение $A_{21}$

$M_{21} = 5$

$A_{21} = (-1)^{1} \cdot 5 = \left(-5\right)$

Вычисляем минор $M_{22}$ и алгебраическое дополнение $A_{22}$

$M_{22} = 2$

$A_{22} = (-1)^{2} \cdot 2 = 2$

$\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$

Найдём транспонированную матрицу относительно матрицы алгебраических дополнений:

$\begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}$

Разделим полученную матрицу на её детерминант:

$-{1 \over 14} \times \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -{3 \over 14} & {5 \over 14} \\ {2 \over 7} & -{1 \over 7} \end{pmatrix}$

Ответ:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} -{3 \over 14} & {5 \over 14} \\ {2 \over 7} & -{1 \over 7} \end{pmatrix}$

Рассмотрим следующий пример.

Пример 2

Дано:

$A= \begin{pmatrix} 5 & 4 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 0 & 5 \\ 6 & 7 & 8 & 1 \end{pmatrix}$

Решение:

Найдём матрицу алгебраических дополнений.

Вычисляем минор $M_{11}$ и алгебраическое дополнение $A_{11}$

$M_{11} = 8$

$A_{11} = (-1)^{0} \cdot 8 = 8$

Вычисляем минор $M_{12}$ и алгебраическое дополнение $A_{12}$

$M_{12} = 16$

$A_{12} = (-1)^{1} \cdot 16 = \left(-16\right)$

Вычисляем минор $M_{13}$ и алгебраическое дополнение $A_{13}$

$M_{13} = 8$

$A_{13} = (-1)^{2} \cdot 8 = 8$

Вычисляем минор $M_{21}$ и алгебраическое дополнение $A_{21}$

$M_{21} = 25$

$A_{21} = (-1)^{1} \cdot 25 = \left(-25\right)$

Вычисляем минор $M_{22}$ и алгебраическое дополнение $A_{22}$

$M_{22} = 34$

$A_{22} = (-1)^{2} \cdot 34 = 34$

Вычисляем минор $M_{23}$ и алгебраическое дополнение $A_{23}$

$M_{23} = 11$

$A_{23} = (-1)^{3} \cdot 11 = \left(-11\right)$

Вычисляем минор $M_{31}$ и алгебраическое дополнение $A_{31}$

$M_{31} = \left(-1\right)$

$A_{31} = (-1)^{2} \cdot \left(-1\right) = \left(-1\right)$

Вычисляем минор $M_{32}$ и алгебраическое дополнение $A_{32}$

$M_{32} = \left(-2\right)$

$A_{32} = (-1)^{3} \cdot \left(-2\right) = 2$

Вычисляем минор $M_{33}$ и алгебраическое дополнение $A_{33}$

$M_{33} = \left(-3\right)$

$A_{33} = (-1)^{4} \cdot \left(-3\right) = \left(-3\right)$

$\begin{pmatrix} 8 & -16 & 8 \\ -25 & 34 & -11 \\ -1 & 2 & -3 \end{pmatrix}$

Найдём транспонированную матрицу относительно матрицы алгебраических дополнений:

$\begin{pmatrix} 8 & -25 & -1 \\ -16 & 34 & 2 \\ 8 & -11 & -3 \end{pmatrix}$

Разделим полученную матрицу на её детерминант:

$-0.0625 \times \begin{pmatrix} 8 & -25 & -1 \\ -16 & 34 & 2 \\ 8 & -11 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.5 & 1.5625 & 0.0625 \\ 1 & -2.125 & -0.125 \\ -0.5 & 0.6875 & 0.1875 \end{pmatrix} Ответ: A^{-1} = \begin{pmatrix} -0.5 & 1.5625 & 0.0625 \\ 1 & -2.125 & -0.125 \\ -0.5 & 0.6875 & 0.1875 \end{pmatrix}$

На Студворк вы можете заказать статью по математике онлайн у профильных экспертов!