Логарифмическая функция

Содержание

  1. 1. Обратные функции
  2. 2. Свойства логарифмической функции
  3. 3. Тест по теме «Логарифмическая функция»

При а>0а > 0 и a1a ≠ 1, каждому положительному значению xx соответствует одно определенное значение logaxlog_ax. Поэтому равенство у=logaxу = log_a x задает некоторую функцию с областью определения больше нуля.

Функцию, заданную формулой у=logaxу = log_a x, называют логарифмической функцией с основанием а.

Примеры логарифмических функций: у=log2xу = log_2x, у=lgxу = lgx, у=lnxу = ln x.

Равенство у=аxу=аxу = а^xу=а^x выражает ту же зависимость между xx и уу, что и x=logaуx = log_a у; этим двум равенствам отвечает один и тот же график:

логарифмическая функция.png

Чтобы от равенства х=logaух = log_a у перейти к у=logaxу = log_a x, надо поменять местами переменные xx и уу. Поэтому и на графике следует поменять местами оси xx и уу:

логарифмическа я функция1.png

Этот рисунок представляет собой график функции y=logaxy = log_a x, только его оси расположены не так, как принято. Чтобы изобразить график функции y=logaxy = log_a x при обычном размещении координатных осей, надо весь рисунок отобразить симметрично относительно прямой у=xу = x:

логарифмическая функция2.png

Итак, графики функций у=аxу = аx и у=logaxу = log_a x, построенные в одной системе координат, симметричны относительно прямой у=xу = x.

Обратные функции

Схематично последовательность описанных преобразований рассматриваемых функций (при 0<а<10 < а <1) можно изобразить следующим образом:

логарифмическая функция3.png

Подобным графическим способом можно переходить и в иных функциях.

Функции, графики которых симметричны относительно прямой уXу - X, называют взаимно обратными.

В частности, функция у=logaxу = log_a x обратная у=аxу = а^x, функция у=x1/3у = x^{1/3} обратная у=x3у = x^3 и наоборот.

Если две функции взаимно обратные, то область определения одной из которых является областью значений второй и наоборот.

Если одна из двух взаимно обратных функций на всей области определения возрастает, то и вторая растет. Например, если функция у=аxу = а^x растет, то большему значению xx соответствует большее значение уу, а большему значению уу - большее значение xx. Тогда и в соотношениях x=logaуx = log_a у и у=logaxу = log_a x большему значению х соответствует большее значение уу, то есть функция у=logaху = log_a х также растет. А, например, для функции у=x2у = x^2, которая на области RR сначала спадает, а затем растет, обратной функции не существует. Потому парабола, симметричная относительно прямой у=xу = x графику функции у=x2у = x^2, не является графиком обратной функции.

Свойства логарифмической функции

Из всего сказанного вытекают следующие свойства логарифмической функции.

  1. Область определения функции у=logaxу = log_a x - промежуток от нуля до бесконечности.
  2. Область значений - множество RR.
  3. Функция возрастает на всей области определения, если а>1а > 1, а при 0<а<10 < а < 1 - спадает.
  4. Функция ни четная, ни нечетная, ни периодическая.
  5. График каждой логарифмической функции проходит через точку А(1;0)А (1; 0).

Показательные и логарифмические функции достаточно удобны для моделирования процессов, связанных с ростом населения, капитала, размножением бактерий, изменением атмосферного давления, радиоактивным распадом и т. п. Поэтому их часто используют при решении прикладных задач.

На Студворк вы можете заказать статью по математике онлайн у профильных экспертов!

Тест по теме «Логарифмическая функция»

Комментарии

Нет комментариев

Предыдущая статья

Логарифм

Следующая статья

Множества чисел
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Прямой эфир