Логарифмическая функция

При $а > 0$ и $a ≠ 1$, каждому положительному значению $x$ соответствует одно определенное значение $log_ax$. Поэтому равенство $у = log_a x$ задает некоторую функцию с областью определения больше нуля.

Функцию, заданную формулой $у = log_a x$, называют логарифмической функцией с основанием а.

Примеры логарифмических функций: $у = log_2x$, $у = lgx$, $у = ln x$.

Равенство $у = а^xу=а^x$ выражает ту же зависимость между $x$ и $у$, что и $x = log_a у$; этим двум равенствам отвечает один и тот же график:

Чтобы от равенства $х = log_a у$ перейти к $у = log_a x$, надо поменять местами переменные $x$ и $у$. Поэтому и на графике следует поменять местами оси $x$ и $у$:

Этот рисунок представляет собой график функции $y = log_a x$, только его оси расположены не так, как принято. Чтобы изобразить график функции $y = log_a x$ при обычном размещении координатных осей, надо весь рисунок отобразить симметрично относительно прямой $у = x$:

Итак, графики функций $у = аx$ и $у = log_a x$, построенные в одной системе координат, симметричны относительно прямой $у = x$.

Обратные функции

Схематично последовательность описанных преобразований рассматриваемых функций (при $0 < а <1$) можно изобразить следующим образом:

Подобным графическим способом можно переходить и в иных функциях.

Функции, графики которых симметричны относительно прямой $у - X$, называют взаимно обратными.

В частности, функция $у = log_a x$ обратная $у = а^x$, функция $у = x^{1/3}$ обратная $у = x^3$ и наоборот.

Если две функции взаимно обратные, то область определения одной из которых является областью значений второй и наоборот.

Если одна из двух взаимно обратных функций на всей области определения возрастает, то и вторая растет. Например, если функция $у = а^x$ растет, то большему значению $x$ соответствует большее значение $у$, а большему значению $у$ - большее значение $x$. Тогда и в соотношениях $x = log_a у$ и $у = log_a x$ большему значению х соответствует большее значение $у$, то есть функция $у = log_a х$ также растет. А, например, для функции $у = x^2$, которая на области $R$ сначала спадает, а затем растет, обратной функции не существует. Потому парабола, симметричная относительно прямой $у = x$ графику функции $у = x^2$, не является графиком обратной функции.

Свойства логарифмической функции

Из всего сказанного вытекают следующие свойства логарифмической функции.

1. Область определения функции $у = log_a x$ - промежуток от нуля до бесконечности.
2. Область значений - множество $R$.
3. Функция возрастает на всей области определения, если $а > 1$, а при $0 < а < 1$ - спадает.
4. Функция ни четная, ни нечетная, ни периодическая.
5. График каждой логарифмической функции проходит через точку $А (1; 0)$.

Показательные и логарифмические функции достаточно удобны для моделирования процессов, связанных с ростом населения, капитала, размножением бактерий, изменением атмосферного давления, радиоактивным распадом и т. п. Поэтому их часто используют при решении прикладных задач.

На Студворк вы можете заказать статью по математике онлайн у профильных экспертов!

Тест по теме «Логарифмическая функция»