НОД и НОК двух чисел

Онлайн калькулятор НОД и НОК двух чисел

Наибольший общий делитель (НОД)

Определение НОД

НОД двух или более целых чисел — это наибольшее целое число, которое является делителем каждого из этих чисел.

Если натуральное число a делится на натуральное число $b$, то $b$ называют делителем числа $a$, а число $a$ называют кратным числа $b$. $a$ и $b$ являются натуральными числами. Число $g$ называют общим делителем и для $a$ и для $b$. Множество общих делителей чисел $a$ и $b$ конечно, так как ни один из этих делителей не может быть больше, чем $a$. Значит, среди этих делителей есть наибольший, который называют наибольшим общим делителем чисел $a$ и $b$ и для его обозначения используют записи: НОД $(a;b)$ или D$(a;b)$

Пример
Наибольший общий делитель (НОД) чисел $18$ и $24$ — это $6$.

Как найти наибольший общий делитель (НОД)

Существует несколько способов нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух или более целых чисел:

• Алгоритм Евклида: НОД$(a, b) =$ НОД $(b, a$ mod $b)$, где «mod» - это операция взятия остатка от деления большего числа на меньшее. Этот алгоритм можно продолжать до тех пор, пока одно из чисел не станет равно нулю. В этом случае НОД равен ненулевому числу.

Пример
$НОД(18, 24) = НОД(24, 18) = НОД(18, 6) = НОД(6, 0) = 6$

• Разложение на простые множители: Найти все простые множители каждого из чисел и их степени. НОД будет равен произведению всех общих простых множителей в минимальной степени.

Пример
НОД$(60, 84) = 2^{2} \cdot 3^{1} = 12$, так как общие простые множители $- 2$ и $3$, их минимальные степени $- 2$ и $1$ соответственно.

• Таблица делителей: Составить таблицы всех делителей каждого числа и найти наибольшее общее число, которое является делителем обоих чисел. Этот метод не рекомендуется для больших чисел, так как он требует много времени и усилий.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Определение НОК

НОК двух или более целых чисел — это наименьшее число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка.

Общими кратными чисел называются числа которые делятся на исходные без остатка. Например для чисел $25$ и $50$ общими кратными будут числа $50,100,150,200$ и т.д Наименьшее из общих кратных будет называться НОК и обозначается НОК$(a;b)$ или K$(a;b).$

Пример
Наименьшее общее кратное чисел $8$ и $12$ – это $24$. Т.е. НОК $(8, 12) = 24$.

Как найти наименьшее общее кратное (НОК)

Чтобы найти НОК двух чисел, необходимо:

1. Разложить числа на простые множители;
2. Выписать множители, входящие в состав первого числа и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого;
3. Найти произведение чисел, найденных на шаге 2. Полученное число и будет искомым наименьшим общим кратным.

Пример
Рассмотрим два числа: $8$ и $12$. Найдем их $НОК$:

• Разложим $8$ и $12$ на простые множители: $8 = 2^3, 12 = 2^2 \cdot 3$.
• Выпишем все простые множители: $2^3 \cdot 3$.
• Для каждого простого множителя выберем наибольшую кратность: $2^3$ и $3$.
• Умножим выбранные простые множители между собой: $2^3 \cdot 3 = 24$.

Таким образом, НОК чисел $8$ и $12$ равен $24$.

Свойства НОД и НОК

• Любое общее кратное чисел $a$ и $b$ делится на K$(a;b)$;
• Если $a\vdots b$ , то К$(a;b)=a$;
• Если К$(a;b)=k$ и $m$-натуральное число, то К$(am;bm)=km$. Если $d$-общий делитель для $a$ и $b$,то К($\frac{a}{d};\frac{b}{d}$)=$\ \frac{k}{d}$
• Если $a\vdots c$ и $b\vdots c$ ,то $\frac{ab}{c}$ - общее кратное чисел $a$ и $b$;
• Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ выполняется равенство $D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$;
• Любой общий делитель чисел $a$ и $b$ является делителем числа $D(a;b)$.

Не получается самостоятельно разобраться с темой? Заказать написание статьи по математике!