Базовая теорема о пропорциональности была введена известным греческим математиком Фалесом, поэтому ее также называют теоремой Фалеса. По его словам, для любых двух равноугольных треугольников соотношение любых двух соответствующих сторон всегда одинаково. Основываясь на этой концепции, он дал теорему об основной пропорциональности (BPT). Это понятие было введено в подобных треугольниках.
Если два треугольника похожи друг на друга, то,
- Соответствующие углы обоих треугольников равны
- Соответствующие стороны обоих треугольников пропорциональны друг другу
Таким образом, два треугольника ΔABC и ΔPQR похожи, если,
- i) ∠A=∠P, ∠B=∠Q и ∠C=∠R
- ii) AB/PQ, BC/QR, AC/PR
Утверждение теоремы Фалеса
Давайте теперь сформулируем основную теорему о пропорциональности, которая выглядит следующим образом:
Если линия проводится параллельно одной стороне треугольника, пересекая две другие стороны в разных точках, то две другие стороны делятся в том же соотношении.
Доказательство теоремы о базовой пропорциональности
Попробуем теперь доказать основную теорему о пропорциональности
Рассмотрим треугольник ΔABC, как показано на данном рисунке. В этом треугольнике мы рисуем линию PQ, параллельную стороне BC ΔABC и пересекающую стороны AB и AC в P и Q соответственно.
Согласно основной теореме о пропорциональности, изложенной выше, нам необходимо доказать:
AP/PB = AQ/QC
Решение:
Соедините вершину B из ΔABC в Q и вершину C в P, чтобы сформировать линии BQ и CP, а затем опустите перпендикулярный QN в сторону AB, а также нарисуйте PM⊥AC, как показано на данном рисунке.
Доказательство
Теперь площадь ∆APQ = 1/2 × AP × QN (Поскольку, площадь треугольника = 1/2× основание × высота)
Аналогичным образом, площадь ∆PBQ = 1/2 × ПБ × QN
площадь ∆APQ = 1/2 × AQ × PM
- Кроме того, площадь ∆QCP = 1/2 × QC × PM
Теперь, если мы найдем соотношение площади треугольников ∆APQand ∆PBQ, мы получим следующее:
2. 
Согласно свойству треугольников, треугольники, нарисованные между одними и теми же параллельными линиями и на одном основании, имеют равные площади.
Поэтому можно сказать, что ∆PBQ и QCP имеют одинаковую площадь.
3. площадь ∆PBQ = площадь ∆QCP
Поэтому из решений выше: (1), (2) и (3) можно сказать, что:
AP/PB = AQ/QC
Кроме того, ∆ABC и ∆APQ выполняют условия для аналогичных треугольников, как указано выше. Таким образом, можно сказать, что ∆ABC ~∆APQ.
Согласно теореме о средних точках, линия, проведенная в соединении средних точек двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне.
Рассмотрим ∆ABC.
Заключение
Мы приходим к следующим выводам из приведенной выше теоремы:
Если P и Q являются средними точками AB и AC, то PQ || BC. Можно сформулировать это математически следующим образом:
Если P и Q являются точками на AB и AC такими, что AP = PB = 1/2 (AB) и AQ = QC = 1/2 (AC), то PQ || BC.
Кроме того, верно и обратное теореме о средней точке, которая утверждает, что линия, проведенная через среднюю точку стороны треугольника, которая параллельна другой стороне, делит пополам третью сторону треугольника.
Следовательно, доказана основная теорема о пропорциональности.
Базовая теорема о пропорциональности.
Согласно этой теореме, если прямая делит любые две стороны треугольника в одинаковом соотношении, то прямая параллельна третьей стороне.
Доказательство
Предположим, что прямая DE пересекает две стороны треугольника AB и AC при D и E, такая, что;
AD/DB = AE/EC … (1)
Предположим, что DE не параллельна BC. Теперь проведите линию DE’ параллельно BC.
Следовательно, похожими треугольниками,
AD/DB = AE’/E’C … (2)
Из экв. 1 и 2 мы получаем;
AE/EC = AE’/E’C
Добавление 1 с обеих сторон;
AE/EC + 1 = AE’/E’C +1
(AE +EC)/EC = (AE’+E’C)/E’C
AC/EC = AC/E’C
Итак, EC = E’C
Это возможно только тогда, когда E и E’ совпадают.
Но, DE’ || BC
Поэтому DE’ || BC
Значит, доказано.
Решенные примеры:
- В ∆ABC стороны AB и AC пересекаются линией в D и E соответственно, которая параллельна стороне BC. Затем докажите, что AD/AB = AE/AC.
Решение: Дано,
DE || BC
Итак, AD/DB = AE/EC
или мы можем поменяться соотношениями как;
DB/AD = EC/AE
Теперь добавьте 1 с обеих сторон;
(DB/AD) + 1 = (EC/AE) + 1
(DB + AD)/AD = (EC + AE)/AE
AB/AD = AC/AE
Если мы снова поменяемся соотношениями, то получим;
AD/AB = AE/AC
Значит, доказано.
2. Предположим треугольник ABC, где DE — линия, проведенная от средней точки AB и заканчивающаяся средней точкой AC при E. AD/DB = AE/EC и ∠ADE = ∠ACB. Затем докажите, что ABC является равнобедренным треугольником.
Решение: Дано,
AD/DB = AE/EC
Наоборот основной теоремы о пропорциональности мы получаем;
DE || BC
Но учитывая, что,
∠ADE = ∠ACB
Следовательно
∠ABC = ∠ACB
Сторона, противоположная равным углам, также равна.
AB = AC
Следовательно, ABC является равнобедренным треугольником.
Обратная теорема
Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так:
Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.
В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины
Таким образом, если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример — трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований).
Этой теоремой пользуются в навигации: столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется направление с одного судна на другое.
Статья по геометрии на заказ от проверенных исполнителей!
Комментарии