Гармонические колебания

Периодические движения математически описываются с помощью функций, для которых выполняется равенство

$f (t + T) = f (t),$

где $T$ – период.

Заметим, что такими же свойствами характеризуется равномерное вращательное движение тела. Однако колебательное движение отличается от вращательного тем, что при колебаниях направление движения периодически меняется на противоположное, при вращательном движении тело движется по круговой траектории в том же направлении.

Простейшими среди колебательных движений является гармонические колебания, при которых физическая величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса.

Гармонические колебания важны не только тем, что их удобно задавать математически, но и тем, что все колебания, которые встречаются в природе и технике, с достаточно хорошим приближением описываются по синусоидальному закону. Даже тогда, когда колебания происходят неси-нусоидально, их можно представить как результат наложения нескольких гармонических колебаний.

Кинематическая модель гармонического колебания

Характер гармонического колебания удобно раскрывать кинематической моделью, представляющей собой материальную точку, которая равномерно движется по окружности с угловой скоростью $ω$ (рис. 1).

Рис. 1

Проекция этой точки (например, на ось Ох) осуществляет гармонические колебания между крайними точками $Ν_1$ и $Ν_2$. Запишем зависимость координаты х точки $N$ от времени $t$. Пусть в начальный момент времени радиус ОМ образует с осью $Ох$ угол $φ_0$. При равномерном движении точки $М$ по кругу через время $t$ радиус $ОМ$ образует с осью $Ох$ угол $ω t + φ_0$. Из рисунка имеем

$х=A\cos (\omega t+{{\varphi }_{0}})$

где $x$ – расстояние колебательной точки от положения равновесия, ее называют смещением. $А$ – максимальное смещение колебательной точки от положения равновесия, его называют амплитудой колебаний.

$(\omega t+{{\varphi }_{0}})$ – фаза колебаний; $φ_0$ – начальная фаза. Если $φ_0 = 0$, то $х = A cos ωt$; $ω$ – циклическая или круговая частота гармонических колебаний.

Формула $x=A\cos (\omega t+{{\varphi }_{0}})$ является аналитической записью гармонических колебаний.

Графическое изображение гармонических колебаний

Для наглядности колебательные процессы изображают графически в координатах $х, t$. При этом время $t$ откладывают на оси абсцисс, а смещение $x$ – на оси ординат. Такое изображение колебательного процесса дает возможность непосредственно найти период, амплитуду и указывает на характер колебаний. На рис. 2 приведены графики таких типичных колебаний: а – треугольные симметричной формы; б – пилообразные (треугольные колебания несимметричной формы) в – трапецеидальные; г – прямоугольные; д – синусоидальные.

Рис. 2

Поскольку движение проекции точки, равномерно движется по кругу, представляет собой гармоническое колебание, то это положено в основу так называемого способа векторных диаграмм, с помощью которых графически изображают гармоничные движения.

Заказать статью по физике у экспертов биржи Студворк!

Тест на тему «Гармонические колебания»