Формула Лапласа

Поверхность жидкости у стенки сосуда искривляется, образуя мениск.

Искривление поверхностной пленки в жидкости создает некое дополнительное давление, которое имеет очень большое значение в капиллярных явлениях или в пузырьковых системах. В общем виде данное давление вычисляют по формуле, выведенной П. С. Лапласом.

Мениск жидкости

Направления сил поверхностного натяжения в этих пределах, при условии, что первоначальный уровень поверхности жидкости горизонтален, можно представить следующим образом:

Как видим, на частицу жидкости $А$ действуют три силы поверхностного натяжения. Поскольку $α_1$ (сила поверхностного натяжения на границе жидкость – твёрдого тело) в общем не равна $α_3$ (на границе пар – твердое тело), то жидкость в области $А$ подниматься или опускаться в зависимости от того, какая из указанных сил больше. При $α_1 > α_3$ образуется вогнутый мениск:

а при $α_3 > α_1$ - выпуклый

На краю мениска сила $α_2$ становится касательной к поверхности жидкости и образует со стенкой сосуда некоторый краевой угол $θ$. Вертикальная составляющая этой силы $α_2 cos θ$ обуславливает установление равновесия сил в точке $А$. Равновесие наступает, когда обеспечиваются равенство:

$α_3 = α_1 + α_2 cos θ$

для вогнутого мениска и

$α_1 = α_3 + α_2 cos θ$

для выпуклого мениска.

Краевой угол $θ$ измеряют всегда со стороны жидкости, поэтому для вогнутого мениска он острый, а для выпуклого – тупой.

Форма мениска жидкости вблизи стенок сосуда тесно связана с явлением смачивания (см. соотв. статью «Смачивание»). Его суть объясняется взаимодействиями молекул жидкости с молекулами стенок сосуда. Жидкость, которая смачивает стенки (например, вода – стекло) образует вогнутый мениск, а жидкость, которая не смачивает (например, ртуть – стекло), – выпуклый мениск. Эти явления играют существенную роль в капиллярах.

Давление сферической пленки

Всякая поверхностная пленка жидкости под действием сил поверхностного натяжения пытается сократиться до минимальной площади. В частности, если поверхностная пленка искривлена, то она пытается стать плоской. Однако, пытаясь стать плоской, выпуклая пленка увеличивает давление на жидкость, а вогнутая – уменьшает его:

Иначе говоря, кривая поверхностная пленка создает в жидкости дополнительное давление к давлению на нее плоской поверхностной пленки.

Найдем значение дополнительного давления под кривой поверхностью. Пусть жидкость ограничено сферической поверхностью радиусом $R$. Под действием дополнительного давления поверхностной пленки жидкость сжимается, поэтому радиус сферы уменьшается на $dR$:

При этом выполняется некоторая работа $dA$, которую можно вычислить по давлению $pα$ поверхностной пленки и изменению объема $dV$ жидкости:

$dA = pα dV$

или по коэффициенту поверхностного натяжения $α$ и сокращением поверхности $dS$ жидкости:
$dA = α dS$.

Приравняв правые части формул, получим:

$pα dV = α dS$.

Если выразить дифференциалы объема и поверхности жидкости через изменение радиуса указанной сферы:

$dV=d\left( \frac{4}{3}\pi {{R}^{3}} \right)=4\pi {{R}^{2}}dR$

$dS=d\left( 4\pi {{R}^{2}} \right)=8\pi RdR$

то равенство будет иметь вид:

${{p}_{\alpha }}\cdot 4\pi {{R}^{2}}dR=\alpha \cdot 8\pi RdR$

Откуда:

${{p}_{\alpha }}=\frac{2\alpha }{R}$

Таково дополнительное давление на жидкость сферической поверхностной пленки. В случае вогнутой сферической поверхности жидкости это давление будет отрицательным.

Давление пленки в общем виде

В общем виде, когда поверхность жидкости является поверхностью двоякой кривизны, дополнительное давление поверхностной пленки определяют по формуле, выведенной французским ученым П. С. Лапласом в 1806 г.:

${{p}_{\alpha }}=\alpha \left( \frac{1}{{{R}_{1}}}+\frac{1}{{{R}_{2}}} \right)$

где $R_1$ и $R_2$ – радиусы кривизны сечений поверхности жидкости. При $R_1 = R_2$ в случае сферической поверхности по формуле Лапласа получают выражение, уже полученное нами выше – $pα=2α/R$.

Формула Лапласа свидетельствует о том, что дополнительное давление кривой поверхностной пленки прямо пропорционально коэффициенту поверхностного натяжения и обратно пропорционально радиусу ее кривизны.

Последняя зависимость хорошо наблюдается на таком опыте. Если с помощью стеклянного тройника, продленного двумя резиновыми трубками, выдуть два мыльных пузыря разного размера, а затем отверстие тройника закрыть, то больший пузырь начнет увеличиваться, а меньший – уменьшаться:

В меньшем пузырьке воздух будет находиться под большим лапласовским давлением, поэтому он перейдет в больший пузырь.

В очень малых пузырьках воздуха или пара в воде лапласовское давление становится значительным. Например, в пузырьке воздуха радиусом 10-9 м в воде лапласовское давление составит:

${{p}_{\alpha }}=\frac{2\cdot 75\cdot {{10}^{-3}}}{{{10}^{-9}}}=15\cdot {{10}^{7}}$ (Па)

Явление образования пузырьков в жидкости называется кавитацией. Она возникает в быстрых потоках жидкости в трубах, когда работают гребные винты кораблей, когда струя пара попадает в воду и тому подобное. Среда кавитационных пузырьков с огромным давлением в них является жесткой средой. Она может вызвать разрушение гребных винтов кораблей, лопастей гидротурбин и других гидротехнических устройств.

Не знаете, где заказать написание статьи по физике на заказ? Авторы Студворк к вашим услугам!

Тест по теме «Формула Лапласа»