Центр масс. Часть 1

Центр масс

Это некоторое положение, определяемое относительно объекта или системы объектов. Это среднее положение всех частей системы, взвешенное в соответствии с их массами.

Для простых жестких объектов с равномерной плотностью центр масс находится в центре тяжести. Например, центр масс однородной формы диска будет в его центре. Иногда центр масс не находится в объекте. Например, центр масс кольца находится в его центре, где нет материала самого кольца.

Рисунок 1. Центр масс для некоторых простых геометрических фигур (обозначен красными точками).

Для более сложных фигур нужно более общее математическое определение:

Центр масс

Это уникальная позиция, в которой взвешенные векторы позиций всех частей системы суммируются до нуля.

Что полезного в центре масс?

Интересная вещь о центре масс объекта или системы состоит в том, что это точка, где действует любая однородная сила на объект. Это очень важно, потому что понимание этого облегчает решение механических задач, в которых мы должны описывать движение объектов разной формы и сложных систем.

Для расчетов мы можем рассматривать объект необычной формы, как если бы вся его масса была сосредоточена в крошечном объекте, расположенном в центре масс. Мы иногда называем этот воображаемый объект точечной массой.

Если мы нажимаем на твердый объект в его центре масс, то объект всегда будет двигаться, как будто это точечная масса. Он не будет вращаться вокруг любой оси, независимо от его фактической формы. Если объект подвергается неуравновешенной силе в какой-то другой точке, он начнет вращаться вокруг центра масс.

Как можно найти центр масс любого объекта или системы?

В общем, центр масс может быть найден путем сложения взвешенных векторов положения, которые указывают на центр масс каждого объекта в системе. Один из быстрых методов, который позволяет избежать использования векторной арифметики является нахождение центра масс отдельно для компонентов вдоль каждой оси. То есть:

Для положений объекта вдоль оси x:

$ЦМ_x\;=\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3\;}{m_1+m_2+m_3}$

И аналогично для оси у:

$ЦМ_y\;=\frac{m_1y_1+m_2y_2+m_3y_3\;}{m_1+m_2+m_3}$

Вместе они дают полные координаты (Цмx, Цмy) центра масс системы. Например, рассмотрим систему из трех плоских объектов одинаковой плотности, показанную на рисунке 2.

Рисунок 2. Система из трех плоских объектов.

Расположение центра масс по оси х:

$\frac{1\cdot4+1\cdot6+2\cdot12\;}{1+1+2}=8,5$

и по оси y:

$\frac{1\cdot5+1\cdot12+2\cdot8,5\;}{1+1+2}=8,5$

Сложные объекты часто могут быть представлены в виде наборов простых форм, каждый из которых имеет одинаковую массу. Затем мы можем представить форму каждого компонента в виде точечной массы, расположенной в центре тяжести. Пустоты внутри объектов можно даже объяснить, представив их в виде фигур с отрицательной массой.

Рассмотрим плоский объект неправильной формы с равномерной плотностью, показанный на рисунке 3.

Рисунок 3. Плоский объект неправильной формы. Объект делится на простые формы.

Мы можем разбить этот сложный объект на четыре прямоугольника и один круг, как показано на рисунке справа. Здесь нас интересует только положение центра масс в относительных единицах, показанных на рисунке. Материал имеет однородную плотность, поэтому масса пропорциональна площади. Для простоты мы можем представить массу каждого сечения в единицах «квадратов», как показано на диаграмме.

По х оси, центр масс находится в:

$\frac{16\cdot10+52\cdot4+12\cdot7,5+16\cdot10+(-7,1)\cdot4,5\;}{16+52+12+16-7,1}=6,6$

Важно, что площадь круговой пустоты $π·1,52$ $\sim7,1$ учитывается как отрицательная масса.

По y оси, центр масс находится в:

$\frac{16\cdot13+52\cdot7,5+12\cdot7,0+16\cdot2+(-7,1)\cdot7,5\;}{16+52+12+16-7,1}=7,4$

Продолжение статьи читайте здесь.

Не знаете, где заказать написание статьи по физике на заказ? Авторы Студворк к вашим услугам!

Тест по теме «Центр масс»