Алгебра (контрольная работа, вариант 27)

Задание 1

Какими свойствами (рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность) обладает бинарное отношение σ на множестве целых положительных чисел Z^+:

xσy↔НОК(x;y)≠1

Задание 2

Найти мультипликативную группу следующих аддитивных групп: 

Z, Q, Z5, Z8, Z12.

Задание 3

Вычислить φ^k, если φ=(■(1&2&3&4&5&6&7&8&9@9&3&2&7&6&5&8&4&1)), если k=-10 и k=-107 (не очень понятно, что именно в условии).

Задание 4

Пусть порядок элемента a группы G равен n, т.е. ord(a)=n и НОД(k,n)=1. Докажите, что тогда <a^k>=<a> и ord(ak)=n.

Задание 5

Построить разложения группы Z15 на смежные классы по каждой из ее подгрупп.