Контрольная работа по дисциплинам «Алгебра» и «Геометрия» ВАРИАНТ 5

ЗАДАНИЕ № 1
Поверхность второго порядка задана уравнением в прямоугольной системе координат.
1) Определить тип поверхности .
2) Изобразить поверхность .
3) Нарисовать сечения поверхности координатными плоскостями. Найти фокусы и асимптоты полученных кривых.
4) Определить по одну или по разные стороны от поверхности лежат точки .
5) Определить, сколько точек пересечения с поверхностью имеет прямая, проходящая через точки .
ЗАДАНИЕ № 2
Дано комплексное число .
1) Записать число в показательной, тригонометрической и алгебраической форме, изобразить его на комплексной плоскости.
2) Записать в показательной, тригонометрической и алгебраической форме число .
3) Записать в показательной и тригонометрической форме каждое значение корня степени m=3.
4) Изобразить число и числа на одной комплексной плоскости.
ЗАДАНИЕ № 3
Дан многочлен .
1) Найти все (целые) корни многочлена p(z). Записать каждый корень в алгебраической форме, указать его алгебраическую кратность.
2) Разложить многочлен p(z) на неприводимые множители:
а) в множестве комплексных чисел;
б) в множестве действительных чисел.
ЗАДАНИЕ № 4
Пусть Pn – линейное пространство многочленов степени не выше n с действительными коэффициентами. Множество состоит из всех тех многочленов p(t), которые удовлетворяют условию p(2 - i) = 0.
1) Доказать, что множество М – подпространство в Pn.
2) Найти размерность и какой-либо базис подпространства М.
3) Дополнить базис подпространства М до базиса Pn.
ЗАДАНИЕ № 5
1) Доказать, что множество М матриц, антиперестановочных с матрицей , образует подпространство в пространстве Мm*n всех матриц данного размера.
2) Найти размерность и построить базис М.
3) Проверить, что матрица принадлежит М и разложить ее по базису в М.
ЗАДАНИЕ № 6
1) Доказать, что множество функций x(t), заданных на области , образует линейное пространство.
2) Найти его размерность и базис.
ЗАДАНИЕ № 7
Даны векторы . Лучи ОА, ОВ и ОС являются ребрами трехгранного угла Т.
1) Доказать, что векторы линейно независимы.
2) Разложить вектор по векторам (возникающую при этом систему уравнений решить с помощью обратной матрицы).
3) Определить, лежит ли точка D внутри Т, вне Т, на одной из граней Т (на какой?).
4) Определить, при каких значениях действительного параметра вектор , отложенный от точки О, лежит внутри трехгранного угла Т.