Ответы на тест "Математический анализ". МФПУ "Синергия", МОИ, МОСАП

1. Вычислите определенный интеграл ∫ (1/2 ⋅ t + 4t²)dt, t=-1..+1

1) 2 2/3

2) 0

3) 4 1/2

2. Вычислите определенный интеграл ∫ (x² - 1)³xdx, x=1..2

1) 10 1/8

2) 26

3) 1

3. Вычислите определенный интеграл ∫ √(1 - x)dx, x=0..1

1) 2/3

2) 2 2/3

3) 0

4. Вычислите определенный интеграл ∫ √(6x - 2)dx, x=1..3

1) 56/9

2) 56

3) 8

4) −1/9

5. Вычислите определенный интеграл ∫ √(x)dx, x=1..4

1) 4 2/3

2) 2 2/3

3) 2

6. Вычислите определенный интеграл ∫ 1 / (1 - 2x)³, x=-2..0

0,24

0,4

0,008

7. Вычислите определенный интеграл ∫ 15xdx / (x² - 1)³, x=2..4

0,4

0,8

0,5

8. Вычислите определенный интеграл ∫ 2dt / cos²t, x=0..π/4

1) 2

2) 1

3) 1/2

9. Вычислите определенный интеграл ∫ 2dx / ∜x, x=1..16

1) 56/3

2) 24

3) 28/3

4) 8/3

10. Вычислите определенный интеграл ∫ 2eˣdx, x=0..2

2e^2-2

2e^2-1

2e^2+2

2e^2

11. Вычислите определенный интеграл ∫ 2xdx / √(16 + x²), x=0..3

1) 2

2) 2/5

3) 1 1/5

12. Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: x = 2x – x2 и y = 0

1) 4/3

2) 3/4

3) 2 1/3

4) 1/3

13. Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: y = 1/cos^2x , y =0 , x1 = 0 , x2 = 45°

1) 1

2) 2

3) 1/2

4) 1/3

14. В каком из перечисленных случаев величина называется параметром?

если она сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса

если она всегда сохраняет одно и то же значение

если она принимает различные значения

15. В каких точках выпукла или вогнута кривая y = 2 - 3x - x²

1) выпукла во всех точках

2) вогунта во всех точках

3) (-3/2; -13/4) — точка перегиба

16. Вычислите предел по правилу Лопиталя lim (1 - cos4x) / (1 - cos6x), x⟶0

1) 4/9

2) 1/9

3) 2/3

4) 1

17. Вычислите предел по правилу Лопиталя lim (cos7x - 1) / (cos3x - 1), x⟶0

1) 49/9

2) 7/3

3) 0

4) ∞

18. Вычислите предел по правилу Лопиталя lim (x - arctgx) / x², x⟶0

0

1

2

7

19. Вычислите предел по правилу Лопиталя lim ln(x² - 8) / (x² - 9), x⟶3

1) 1

2) 8/9

3) 0

4) ∞

20. Вычислите путь, пройденный точкой за 3 с от начала движения. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением

υ = 9t² - 2t - 8

48 м

42 м

40 м

46 м

21. Вычислите силу давления воды на одну из стенок аквариума, имеющего длину 30 см и высоту 20 см

58,8 Н (6 кГ)

62 Н (6,1 кГ)

50 Н (5,1 кГ)

56 Н (5,7 кГ)

22. Вычислите силу давления воды на стенку шлюза, длина которого 20 м и высота 5 м, считая шлюз доверху заполненным водой

2,45 МН

24,5 МН

2,55 МН

2,25 МН

23. График какой функции симметричен относительно оси ординат?

четной функции

нечетной функции

функции общего вида

24. Даны дифференциальные уравнения. Укажите среди них линейные уравнения 1) y' - 3y = xe³ˣ; 2) y' - 3y = y³e³ˣ; 3) y' + y / (x + 4) = tgx / (x + 4); 4) y' + y² / (x + 4) = tgx / (x + 4)

1, 3

1, 3, 4

2, 3, 4

3, 4

25. Даны дифференциальные уравнения. Укажите среди них однородные уравнения 1) (x² + y² + 2xy)dx + 2xydy = 0; 2) (x² + y² + 2x)dx + 2xydy = 0; 3) y' = (y/x)² + y/x + 49; 4) y' = (y/x)² + x; 5) y' = (x + 7y) / 7y; 6) y' = (x + 7) / 7y

1, 3, 5

1, 3, 4, 5

1, 3, 6

1, 3, 5, 6

26. Исследуйте ряд на сходимость 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + … + (-1)ⁿ⁺¹ ⋅ 1 / (n + 2) + ...

сходится

расходится

абсолютно сходится

ничего нельзя сказать о сходимости ряда

27. Исследуйте ряд на сходимость 5/1 - 7/2 + 9/3 - … + (-1)ⁿ⁺¹ ⋅ (2n + 3) / n + ...

расходится

абсолютно сходится

условно сходится

сходится

28. Исследуйте функцию y=x^3+3x^2на экстремумы

максимум в точке -2; минимум в точке 0

максимум в точке 0; минимум в точке -2

максимум в точке 2; минимум в точке 0

29. Как называется решение, полученное из общего при конкретных значениях произвольных постоянных?

частным решением

единичным решением

множественным решением

универсальным решением

30. Какая из перечисленных функций не относится к алгебраическим функциям?

логарифмическая функция

дробно-рациональная функция

целая рациональная функция

иррациональная функция

31. Какая из перечисленных функций не относится к трансцендентным функциям?

дробно-рациональная функция

показательная функция

логарифмическая функция

тригонометрическая функция

32. Какая кривая y = f(x) называется выпуклой на интервале (a, b)?

если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале

если все точки кривой лежат на ее касательной на этом интервале

если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале

33. Какая поверхность называется графиком функции n переменных?

1) n-мерная гиперповерхность в пространстве Rⁿ⁺¹, точки которой имеют вид (x₁, x₂, …, xₙ, f(x₁, x₂, …, xₙ))

2) n-мерная гиперповерхность в пространстве Rⁿ, точки которой имеют вид (x₁, x₂,…, xₙ, f(x₁, x₂, …, xₙ))

3) (n + 1)-мерная гиперповерхность в пространстве Rⁿ⁺¹, точки которой имеют вид (x₁, x₂, …, xₙ, f(x₁, x₂, …, xₙ))

34. Какая функция называется четной?

1) если для любых значений x из области определения f(−x) = f(x)

2) если для любых значений x из области определения f(−x) = −f(x)

3) если для любых значений x из области определения f(−x) = −f(−x)

35. Какая функция называется явной?

если функция задана формулой y = f(x), в которой правая часть не содержит зависимой переменной

если функция задана формулой y = f(x), в которой левая часть не содержит зависимой переменной

если функция задана уравнением F(х, у) = 0, не разрешенным относительно зависимой переменной

36. Какая функция у = f(x) называется возрастающей на промежутке X?

если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции

если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции

если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует положительное значение функции

37. Какова область определения функции? 1/f(x)

f(x) ≠ 0

f(x) ≥ 0

f(x) ≤ 0

−1 ≤ f(x) ≤ −1

38. Каково необходимое условие возрастания функции?

1) если функция y = f(x) дифференцируема и возрастает на интервале (a; b), то f'(x) ≥ 0 для всех x из этого интервала

2) если функция y = f(x) дифференцируема и возрастает на интервале (a; b), то f'(x) ≤ 0 для всех x из этого интервала

3) если функция y = f(x) дифференцируема и возрастает на интервале (a; b), то f'(x) = 0 для всех x из этого интервала

39. Какое уравнение называется дифференциальным уравнением?

уравнение, содержащее независимую переменную, функцию от этой независимой переменной и ее производные различных порядков

уравнение, содержащее независимую переменную и функцию от этой независимой переменной

уравнение, содержащее функцию от независимой переменной и ее производные различных порядков

40. Какую подстановку используют при решении уравнений Бернулли?

1) y = u ⋅ v

2) y/x = t

3) y = u + v

41. Какую работу совершает сила в 8 H при растяжении пружины на 6 см?

0,24 Дж

20 Дж

0,2 Дж

2 Дж

42. На каком из рисунков изображена область определения функции?

z = ln(2 - x + y) / √(x + y)

1

2

3

4

43. Найдите ∫ ((x + 1) / (x² + 1))dx

1) 1/2 ⋅ ln(x² + 1) + arctgx + C

2) ln(x² + 1) + arcctgx + C

3) 2ln(x² + 1) + arcctgx + C

44. Найдите ∫ (2/x² - 4/√x + 3∛(x²))dx

1) 9/5 ⋅ x ⋅ ∛(x²) − 8√x − 2/x + C

2) 3/5 ⋅ ∛(x²) − 8x − 2/x + C

3) 9/5 ⋅ √x − 8√x − 2 + C

45. Найдите ∫ (2/x³ - 4/√x + 3∛(x²))dx

1) 9/5 ⋅ x∛(x²) - 8√x - 2/x + C

2) 3/5 ⋅ ∛(x²) - 8x - 2/x + C

3) 9/5 ⋅ √x - 8√x - 2 + C

46. Найдите ∫ (3 + 5x)⁴dx

1) 1/25 ⋅ (3 + 5x)⁵ + C

2) 1/25 ⋅ (3 + 5x)³ + C

3) 1/16 ⋅ (3 + 5x)³ + C

47. Найдите ∫ (3x - x²)dx

1) 3/2 ⋅ x² − 1/3 ⋅ x³ + C

2) 3/2 ⋅ x − 1/3 ⋅ x² + C

3) 3 − 2x + C

48. Число F(X0) называется наибольшим значением функции на отрезке [a; b], если

1) для всех x из этого отрезка выполняется неравенство f(x) ≤ f(x₀)

2) для всех x из этого отрезка выполняется неравенство f(x) ≥ f(x₀)

1) для всех x из этого отрезка выполняется неравенство f(x) = f(x₀)

49. Что называется критическими точками второго рода?

точки области определения, в которых вторая производная функции y = f(x) обращается в нуль или не существует

точки области определения, в которых первая производная функции y = f(x) обращается в нуль или не существует

точки области определения, в которых производная функции y = f(x) равна единице

50. Что называется порядком дифференциального уравнения?

наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение

наивысший порядок переменной, входящей в дифференциальное уравнение

наивысший порядок второй производной, входящей в дифференциальное уравнение

51. Укажите частное решение дифференциального уравнения y′ + 2y = 4, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 5

1) y = 3e⁻²ˣ + 2

2) y = e⁻²ˣ + 5

3) y = ln|C − 2x|

4) y = 5 − 2x

52. Чему, согласно правилу Лопиталя, равен предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, если последний существует?

пределу отношения производных двух бесконечно малых или бесконечно больших функций

пределу произведения производных двух бесконечно малых или бесконечно больших функций

пределу суммы производных двух бесконечно малых или бесконечно больших функций

53. Чему равен неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций?

алгебраической сумме интегралов от этих функций

алгебраической разности интегралов от этих функций

алгебраическому произведению интегралов от этих функций

54. Чему равна производная постоянной функции?

0

1

-1