ТулГу Метрология, стандартизация и сертификация (семестр 3)
Работа выполнена на проходной бал.
Вариант 9
1. Общие положения
Контрольная работа представляет собой самостоятельную учебно-исследовательскую работу, обеспечивает закрепление знаний, полученных студентами на занятиях по курсу.
Настоящие методические указания разработаны в соответствии с программой курса. Они определяют цели, основную тематику, объем, структуру и содержание контрольной работы, требования к ней, порядок выполнения, оформления и защиты курсовой работы, а также список рекомендуемой литературы.
Основные цели и задачи курсовой работы состоят в следующем:
· углубить и закрепить знания по курсу;
· развить навыки самостоятельной работы с научной и справочной литературой, нормативными документами, материалами, опубликованными в периодической печати и др.;
· приобрести опыт их творческого использования;
· развить умение связывать теоретические положения с условиями современной практики;
Работа должна быть выполнена студентом самостоятельно на основании глубокого изучения научной литературы по проблемам изучаемой дисциплины.
Контрольная работа должна показать умение студента работать с литературой, делать самостоятельные выводы, анализировать и обобщать статистический и другие материалы, обосновывать собственную точку зрения по изучаемой проблеме, находить пути ее разрешения.
В процессе работы студент должен применять методологию системного и комплексного подходов, широко использовать арсенал современных методов анализа.
Раскрывая тему, необходимо соблюдать логическую последовательность изложения материала.
Текст работы должен сопровождаться схемами, графиками, диаграммами, таблицами, рисунками и другим иллюстративным материалом, который придает тексту ясность, конкретность и наглядность. Количество иллюстраций определяется содержанием работы.
Результаты измерений
28.81 29.29 29.37 29.05 29.52 29.16 28.87 29.02 29.24 29.16 29.02 28.98 29.07 29.12 29.56 29.00 29.15 29.05 29.18 29.52 29.26 29.06 28.86 29.01 29.56 29.07 29.08 28.96 29.11 29.01 29.20 28.92 28.83 29.23 28.98 28.72 28.85 29.00 28.90 28.95 29.00 29.13 29.42 28.92 29.12 29.28 29.09 29.33 29.30 29.23 29.00 29.29 29.29 29.04 29.29 28.93 28.94 29.07 29.09 28.75 29.13 29.29 28.81 28.94 29.14 29.07 29.13 28.80 28.97 28.82 28.82 29.16 29.09 29.24 29.51 28.79 29.43 29.03 29.08 28.93 28.92 28.90 28.85 29.10 29.24 29.50 29.40 28.95 28.91 29.10 29.16 29.20 28.99 29.17 29.33 28.86 29.22 29.07 28.95 28.98
Определить вид ЗРВ по критерию Пирсона;
Записать результат с доверительной вероятностью P= 0.97
2.1. Порядок обработки результатов прямых многократных равноточных измерений
Для 100 независимых числовых значений результата измерения некоторой физической величины необходимо:
· проверить гипотезу о нормальности распределения вероятности результатов измерения;
· записать результат в принятой форме, исходя из уровня доверительной вероятности 0,95;
· представить два варианта доверительного интервала – для нормального и для неизвестного закона распределения вероятности среднего арифметического значения измеряемого напряжения
Равноточными называются измерения, у которых все значения отсчетов «Xi» имеют одинаковую дисперсию (точность).
Обработка результатов многократных равноточных измерений производится в следующем порядке:
1. Определение оценок числовых характеристик и закона распределения вероятности результата измерения ( и – среднее арифметическое и оценка среднего квадратического отклонения измеряемой величины соответственно);
2. Исключение «грубых промахов», если таковые имеются, из результатов измерений и пересчет оценок числовых характеристик закона распределения вероятности результата измерения;
3. Проверка гипотезы о виде закона распределения вероятности результата измерения (чаще всего проверяется гипотеза о его нормальности);
4. Представление результата измерения в виде доверительного интервала, соответствующего определенному уровню доверительной вероятности.
2.1.1 Определение оценок числовых характеристик закона распределения вероятности результата измерений
2.1.2 Исключение грубых промахов
· 2.1.2.1 Проверка гипотезы о наличии грубых промахов в результате измерений с помощью n-критерия
· 2.1.2.2 Проверка гипотезы о наличии грубых промахов в результате измерений с помощью правила «трех сигм»
2.1.3 Выявление вида закона распределения вероятности результата измерения
2.1.4 Представление результата в принятой форме
2.1.1 Определение оценок числовых характеристик закона распределения вероятности результата измерений
Числовые характеристики и SQ определяются по формулам:
(2.1)
(2.2)
где Qi – результат i-того параллельного наблюдения (измерения);
n – число параллельных наблюдений (измерений).
При проведении расчетов числовых характеристик и других параметров всегда встает вопрос о точности их вычисления, т.е. о том с каким числом значащих цифр записывать полученные значения. При обработке результатов измерений следует руководствоваться следующими правилами:
1. Значение оценок средних квадратических отклонений и может быть определено максимум с двумя значащими цифрами, причем вторую значащую цифру следует округлять до 0 или 5. Под значащими цифрами понимается всякая отличная от нуля цифра десятичной записи числа и нуль, если он находится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда. Например, у приближенного числа 0,002080 подчеркнутые нули не являются значащими цифрами, т. к. они указывают только порядок числа (10–3). Остальные два нуля являются значащими цифрами, т. к. первый из них находится между значащими цифрами 2 и 8, а второй указывает, что округленное число отличается от неокругленного менее чем на ±5 единиц седьмого разряда;
2. Для предотвращения накопления погрешности промежуточных расчетов среднее квадратическое отклонение следует определять как минимум с одной запасной значащей цифрой, т.е. с 3-мя значащими цифрами, округляя его при окончательной записи до двух значащих цифр, как было указано в п. 1. Таким же образом следует поступать с любыми промежуточными данными;
3. Среднее арифметическое следует рассчитывать с таким количеством знаков после запятой, которое соответствует последней значащей цифре среднего квадратического отклонения среднего арифметического после его округления (окончательной записи). Например: если по расчетам среднее квадратическое отклонение среднего арифметического получилось =0,0273, то его следует округлить до значения =0,025, а среднее арифметическое необходимо определять до третьего знака после запятой.
В дальнейшем для построения доверительного интервала понадобится еще оценка среднего квадратического отклонения среднего арифметического значения :
(2.3)
Окончательное определение среднего арифметического и оценок средних квадратических отклонений самой измеряемой величины и ее среднего арифметического значения осуществляется только после исключения грубых промахов.
2.1.2 Исключение грубых промахов
Существует несколько способов проверки гипотезы о наличии грубых промахов в результате измерений. Наиболее распространенными являются: проверка наличия грубых промахов с помощью n-критерия и с помощью правила «трех сигм».
2.1.2.1 Проверка гипотезы о наличии грубых промахов в результате измерений с помощью n-критерия
Этот способ применяется при малом числе измерений n ≤ 25...30, если их вероятность распределена по нормальному закону. Из всех полученных значений измеряемой величины на наличие грубых промахов проверяют, как правило, минимальный Qmin и максимальный Qmax результаты. Если они не содержат грубых погрешностей, то промежуточные результаты тем более. При проверке сначала рассчитывают значения n-критерия, соответствующие максимальному и минимальному результатам измерений:
(2.4)
(2.5)
Если значение νmax или νmin больше критического νT , выбираемого из таблицы значений n при различных числах измерений n, то один или оба проверяемых результата измерений являются грубыми промахами, т.е. содержат грубые погрешности. Критическое значение νT выбирается, исходя из уровня доверительной вероятности Р (уровня значимости, равного 1 – Р) и числа результатов измерений n.
Грубые промахи исключаются из экспериментальных данных (отбрасываются), значения параметров и пересчитываются заново, после чего опять проводится аналогичная проверка и так до тех пор, пока все грубые промахи не будут отброшены. После исключения грубых промахов окончательно определяются значения и .
Примечание:
1. Индексы «min» и «max» в обозначении n-критерия говорят не о его величине, а о соответствии минимальному или максимальному значению измеряемой величины. Вполне может оказаться, что νmin > νmax;
2. Не обязательно рассчитывать оба критерия νmax или νmin и сравнивать их с табличным значением νT . Грубым промахом, скорее всего, будет то значение Qmax или Qmin, которое в наибольшей степени удалено от среднего значения ;
2.1.2.2 Проверка гипотезы о наличии грубых промахов в результате измерений с помощью правила «трех сигм»
Данный способ проверки наличия грубых промахов менее надежен, чем предыдущий и применяется, как правило, при соблюдении следующих условий:
1. Закон распределения вероятности результатов измерений соответствует нормальному;
2. Число измерений больше 25…30, т.е. n ≥ 25...30
3. Числовые характеристики закона распределения вероятности известны достаточно точно.
Для проведения данной проверки сначала вычисляют значения и . Далее определяют допустимые значения и измеряемой величины, которые с доверительной вероятностью Р = 0,9973 еще не являются грубыми промахами:
(2.6)
(2.7)
Все значения измеряемой величины, выходящие за пределы интервала признаются грубыми промахами с вероятностью Р = 0,9973.
После отбрасывания грубых промахов необходимо пересчитать значения и и повторять проверку до тех пор, пока все грубые промахи не будут исключены из результата измерений. В дальнейших расчетах используются числовые характеристики и закона распределения вероятности, рассчитанные для результата измерений, не содержащего грубых промахов.
2.1.3 Выявление вида закона распределения вероятности результата измерения
При большом числе измерений n ≥ 50 для выявления вида закона распределения вероятности чаще используют универсальные критерии, с помощью которых можно проверять гипотезу о соответствии любому виду распределения. Поскольку заранее не известно, какой из возможных законов лучше описывает эмпирическое распределение вероятности результата измерения, необходимо предварительно исследовать полученный закон и уже на основании этого исследования выдвинуть гипотезу о виде распределения вероятности.
Такое предварительное исследование производят чаще всего с помощью гистограммы. По ее виду можно предположить, какой теоретический закон распределения вероятности лучше соответствует данной гистограмме, т.е. эмпирическому распределению, полученному при измерении.
Гистограмма строится следующим образом:
1. Результаты отдельных измерений Qi располагают в вариационный ряд по возрастанию их численных значений;
2. Участок оси абсцисс, на котором располагается вариационный ряд значений Qi , разбивают на k желательно одинаковых интервалов ΔQ. При этом по возможности следует придерживаться следующих рекомендаций по выбору числа «k»:
Число измерений «n»
Число интервалов «k»
40…100
100…500
500…1000
1000…10000
7…9
8…12
10…16
12…22
3. Ширину интервала ΔQ желательно выбирать так, чтобы с ее значением было удобно работать, т.е. округлять до возможно меньшего числа значащих цифр и так, чтобы последняя цифра равнялась бы «0» или «5».
(2.8)
При этом целесообразно определять такое количество значащих цифр в значении длины интервала ΔQ, которое не совпадает с количеством значащих цифр в результатах параллельных наблюдений. Это позволит исключить совпадение значений каких-либо результатов с границами интервалов гистограммы;
4. Начало первого интервала располагают на оси абсцисс перед минимальным значением Qmin, а конец последнего – после максимального значения Qmax;
5. Масштаб гистограммы выбирают так, чтобы ее высота относилась бы к основанию примерно как 5 к 8;
6. Подсчитывают количество результатов mj , попавших в каждый интервал, и определяют высоту ρj каждого столбца гистограммы по формуле:
(2.9)
7. Строят саму гистограмму.
После выдвижения гипотезы о виде закона распределения вероятности результата измерений осуществляют проверку ее непротиворечивости (правдивости или правильности) с помощью какого-либо критерия согласия. Наиболее распространенным критерием является критерий χ2 Пирсона. При использовании этого критерия за меру расхождения экспериментальных данных с теоретическим законом распределения вероятности результата измерений принимается сумма квадратов отклонений частостей от теоретической вероятности Pj попадания отдельного результата измерений в j-ый интервал, причем, каждое слагаемое берется с весовым коэффициентом n / Pj:
(2.10)
где χ2 критерий Пирсона;
– частость или экспериментальное значение вероятности попадания результата измерений в j-ый интервал:
(2.11)
Pj – теоретическая вероятность попадания результата измерений в i-ый интервал (рассчитывается или определяется по таблице с принятой гипотезой о виде закона распределения вероятности результата измерений).
Проверка нормальности закона распределения вероятности результата измерений согласно критерию χ2 сводится к следующему:
1. Данные наблюдений группируют по интервалам, как при построении гистограммы, и подсчитывают частоты mj. Если в некоторые интервалы попадает менее пяти наблюдений, то такие интервалы объединяются с соседними. При этом соответственно уменьшается число степеней свободы:
r = k - 3,
(2.12)
где k – число интервалов гистограммы после объединения.
2. Принимают величины и , рассчитанные по формулам (2.1) и (2.2) в качестве параметров теоретического закона распределения вероятности результата измерений.
3. Для каждого интервала находят вероятности попадания в них результатов наблюдений по таблице нормированного нормального распределения вероятности:
(2.13)
где Ф( zj - 1 ) и Ф(z j ) – значения интегральной функции нормированного нормального распределения (выбирается по таблице интегральной функции нормированного нормального распределения) в начале и конце i-го интервала соответственно;
zj - 1 и zj – значения аргумента интегральной функции распределения вероятности, соответствующие границам i-го интервала:
(2.14)
где Qj - 1 , Qj – начало и конец i-го интервала.
4. Для каждого интервала вычисляют значение критерия Пирсона:
(2.15)
и суммируют эти значения для всех k интервалов, т.е.:
5. Исходя из числа степеней свободы (см. формулу (2.16)) и уровня значимости q = 1 - P (Р – вероятность, с которой принимается или отвергается выдвинутая гипотеза) определяют по таблице интегральной функции χ2- распределения Пирсона допустимое (критическое) значение .
Если , то гипотеза о нормальности закона распределения вероятности результата измерений принимается с доверительной вероятностью Р. В противном случае гипотеза с той же вероятностью отвергается.
Примечание:
1. При определении числа степеней свободы r (формула 2.16) следует иметь в виду, что k – это число интервалов, оставшихся после их объединения, если таковое было (см. п.п. 1 и 5).
2. Доверительную вероятность Р принимают обычно на уровне 0,9…0,95, т.е. Р = 0,9…0,95
2.1.4 Представление результата в принятой форме
Обычно принято результат любого измерения представлять в виде доверительного интервала с доверительной вероятностью попаданий в него результата измерений Q:
(2.16)
где t – относительная ширина доверительного интервала, зависящая от вероятности Р и вида закона распределения вероятности результата измерений;
Q – истинное значение измеряемой величины.
При многократном измерении в качестве меры рассеяния результата используют оценку среднего квадратического отклонения среднего арифметического значения (см. формулу (2.3)). Поэтому доверительный интервал примет вид:
(2.17)
Относительная ширина доверительного интервала t выбирается по-разному в зависимости от числа измерений n. Если измерений мало, т.е. n ≤ 25...30, то параметр t выбирается по таблицам распределения Стьюдента, а если достаточно много, т.е. n ≥ 25...30, то по таблицам нормированного нормального распределения.
Следует иметь в виду, что законы распределения вероятности величин Q и могут не совпадать между собой. Поэтому в общем случае, если неизвестен закон распределения вероятности величины , относительную ширину интервала t определяют из неравенства Чебышева:
(2.18)
или
(2.19)
если известно, что этот закон симметричен.
Если же известно, что вероятность величины подчиняется нормальному закону, что обычно и бывает при нормальном распределении вероятности результатов Qi , то пользуются таблицей нормированного нормального распределения вероятности.
Примечание:
1. Не рекомендуется записывать результат измерений в виде симметричного интервала , т.к. при такой записи создается ложное впечатление, что значение является единственным наиболее вероятным результатом измерений;
2. При нормальном законе распределения вероятности часто используют следующие значения относительной ширины интервала:
t = ± 3 при доверительной вероятности Р = 0,9973;
t = ± 1,96 при доверительной вероятности Р = 0,95;
t = ± 1,6449 при доверительной вероятности Р = 0,9.
3.1. Нормированное нормальное распределение. Интегральная функция
z
–0,09
–0,08
–0,07
–0,06
–0,05
–0,04
–0,03
–0,02
–0,01
–0,00
–3,5
0,00017
0,00017
0,00018
0,00019
0,00019
0,0002
0,00021
0,00022
0,00022
0,00023
–3,4
0,00024
0,00025
0,00026
0,00027
0,00028
0,00029
0,00030
0,00031
0,00032
0,00034
–3,3
0,00035
0,00036
0,00038
0,00039
0,0004
0,00042
0,00043
0,00045
0,00047
0,00048
–3,2
0,00050
0,00052
0,00054
0,00056
0,00058
0,0006
0,00062
0,00064
0,00066
0,00069
–3,1
0,00071
0,00074
0,00076
0,00079
0,00082
0,00084
0,00087
0,00090
0,00094
0,00097
–3,0
0,00100
0,00104
0,00107
0,00111
0,00114
0,00118
0,00122
0,00126
0,00131
0,00135
–2,9
0,00139
0,00144
0,00149
0,00154
0,00159
0,00164
0,00169
0,00175
0,00181
0,00187
–2,8
0,00193
0,00199
0,00205
0,00212
0,00219
0,00226
0,00233
0,00240
0,00248
0,00256
–2,7
0,00264
0,00272
0,0028
0,00289
0,00298
0,00307
0,00317
0,00326
0,00336
0,00347
–2,6
0,00357
0,00368
0,00379
0,00391
0,00402
0,00415
0,00427
0,00440
0,00453
0,00466
–2,5
0,00480
0,00494
0,00508
0,00523
0,00539
0,00554
0,00570
0,00587
0,00604
0,00621
–2,4
0,00639
0,00657
0,00676
0,00695
0,00714
0,00734
0,00755
0,00776
0,00798
0,00820
–2,3
0,00842
0,00866
0,00889
0,00914
0,00939
0,00964
0,00990
0,01017
0,01044
0,01072
–2,2
0,01101
0,01130
0,01160
0,01191
0,01222
0,01255
0,01287
0,01321
0,01355
0,01390
–2,1
0,01426
0,01463
0,01500
0,01539
0,01578
0,01618
0,01659
0,01700
0,01743
0,01786
–2,0
0,01831
0,01876
0,01923
0,01970
0,02018
0,02068
0,02118
0,02169
0,02222
0,02275
–1,9
0,02330
0,02385
0,02442
0,02500
0,02559
0,02619
0,02680
0,02743
0,02807
0,02872
–1,8
0,02938
0,03005
0,03074
0,03144
0,03216
0,03288
0,03362
0,03438
0,03515
0,03593
–1,7
0,03673
0,03754
0,03836
0,03920
0,04006
0,04093
0,04182
0,04272
0,04363
0,04457
–1,6
0,04551
0,04648
0,04746
0,04846
0,04947
0,0505
0,05155
0,05262
0,05370
0,05480
–1,5
0,05592
0,05705
0,05821
0,05938
0,06057
0,06178
0,06301
0,06426
0,06552
0,06681
–1,4
0,06811
0,06944
0,07078
0,07215
0,07353
0,07493
0,07636
0,07780
0,07927
0,08076
–1,3
0,08226
0,08379
0,08534
0,08691
0,08851
0,09012
0,09176
0,09342
0,09510
0,09680
–1,2
0,09853
0,10027
0,10204
0,10383
0,10565
0,10749
0,10935
0,11123
0,11314
0,11507
–1,1
0,11702
0,11900
0,12100
0,12302
0,12507
0,12714
0,12924
0,13136
0,13350
0,13567
–1,0
0,13786
0,14007
0,14231
0,14457
0,14686
0,14917
0,15151
0,15386
0,15625
0,15866
–0,9
0,16109
0,16354
0,16602
0,16853
0,17106
0,17361
0,17619
0,17879
0,18141
0,18406
–0,8
0,18673
0,18943
0,19215
0,19489
0,19766
0,20045
0,20327
0,20611
0,20897
0,21186
–0,7
0,21476
0,21770
0,22065
0,22363
0,22663
0,22965
0,23270
0,23576
0,23885
0,24196
–0,6
0,24510
0,24825
0,25143
0,25463
0,25785
0,26109
0,26435
0,26763
0,27093
0,27425
–0,5
0,27760
0,28096
0,28434
0,28774
0,29116
0,2946
0,29806
0,30153
0,30503
0,30854
–0,4
0,31207
0,31561
0,31918
0,32276
0,32636
0,32997
0,33360
0,33724
0,34090
0,34458
–0,3
0,34827
0,35197
0,35569
0,35942
0,36317
0,36693
0,37070
0,37448
0,37828
0,38209
–0,2
0,38591
0,38974
0,39358
0,39743
0,40129
0,40517
0,40905
0,41294
0,41683
0,42074
–0,1
0,42465
0,42858
0,43251
0,43644
0,44038
0,44433
0,44828
0,45224
0,45620
0,46017
–0,0
0,46414
0,46812
0,47210
0,47608
0,48006
0,48405
0,48803
0,49202
0,49601
0,50000
z
+0,00
+0,01
+0,02
+0,03
+0,04
+0,05
+0,06
+0,07
+0,08
+0,09
+0,0
0,5000
0,5040
0,5080
0,5120
0,5160
0,5199
0,5239
0,5279
0,5319
0,5359
+0,1
0,5398
0,5438
0,5478
0,5517
0,5557
0,5596
0,5636
0,5675
0,5714
0,5753
+0,2
0,5793
0,5832
0,5871
0,5910
0,5948
0,5987
0,6026
0,6064
0,6103
0,6141
+0,3
0,6179
0,6217
0,6255
0,6293
0,6331
0,6368
0,6406
0,6443
0,6480
0,6517
+0,4
0,6554
0,6591
0,6628
0,6664
0,6700
0,6736
0,6772
0,6808
0,6844
0,6879
+0,5
0,6915
0,6950
0,6985
0,7019
0,7054
0,7088
0,7123
0,7157
0,7190
0,7224
+0,6
0,7257
0,7291
0,7324
0,7357
0,7389
0,7422
0,7454
0,7486
0,7517
0,7549
+0,7
0,7580
0,7611
0,7642
0,7673
0,7704
0,7734
0,7764
0,7794
0,7823
0,7852
+0,8
0,7881
0,7910
0,7939
0,7967
0,7995
0,8023
0,8051
0,8078
0,8106
0,8133
+0,9
0,8159
0,8186
0,8212
0,8238
0,8264
0,8289
0,8315
0,8340
0,8365
0,8389
+1,0
0,8413
0,8438
0,8461
0,8485
0,8508
0,8531
0,8554
0,8577
0,8599
0,8621
+1,1
0,8643
0,8665
0,8686
0,8708
0,8729
0,8749
0,8770
0,8790
0,8810
0,8830
+1,2
0,8849
0,8869
0,8888
0,8907
0,8925
0,8944
0,8962
0,8980
0,8997
0,9015
+1,3
0,9032
0,9049
0,9066
0,9082
0,9099
0,9115
0,9131
0,9147
0,9162
0,9177
+1,4
0,9192
0,9207
0,9222
0,9236
0,9251
0,9265
0,9279
0,9292
0,9306
0,9319
+1,5
0,9332
0,9345
0,9357
0,9370
0,9382
0,9394
0,9406
0,9418
0,9429
0,9441
+1,6
0,9452
0,9463
0,9474
0,9484
0,9495
0,9505
0,9515
0,9525
0,9535
0,9545
+1,7
0,9554
0,9564
0,9573
0,9582
0,9591
0,9599
0,9608
0,9616
0,9625
0,9633
+1,8
0,9641
0,9649
0,9656
0,9664
0,9671
0,9678
0,9686
0,9693
0,9699
0,9706
+1,9
0,9713
0,9719
0,9726
0,9732
0,9738
0,9744
0,9750
0,9756
0,9761
0,9767
+2,0
0,9772
0,9778
0,9783
0,9788
0,9793
0,9798
0,9803
0,9808
0,9812
0,9817
+2,1
0,9821
0,9826
0,9830
0,9834
0,9838
0,9842
0,9846
0,9850
0,9854
0,9857
+2,2
0,9861
0,9864
0,9868
0,9871
0,9875
0,9878
0,9881
0,9884
0,9887
0,9890
+2,3
0,9893
0,9896
0,9898
0,9901
0,9904
0,9906
0,9909
0,9911
0,9913
0,9916
+2,4
0,9918
0,9920
0,9922
0,9925
0,9927
0,9929
0,9931
0,9932
0,9934
0,9936
+2,5
0,9938
0,9940
0,9941
0,9943
0,9945
0,9946
0,9948
0,9949
0,9951
0,9952
+2,6
0,9953
0,9955
0,9956
0,9957
0,9959
0,9960
0,9961
0,9962
0,9963
0,9964
+2,7
0,9965
0,9966
0,9967
0,9968
0,9969
0,9970
0,9971
0,9972
0,9973
0,9974
+2,8
0,9974
0,9975
0,9976
0,9977
0,9977
0,9978
0,9979
0,9979
0,9980
0,9981
+2,9
0,9981
0,9982
0,9982
0,9983
0,9984
0,9984
0,9985
0,9985
0,9986
0,9986
+3,0
0,9987
0,9987
0,9987
0,9988
0,9988
0,9989
0,9989
0,9989
0,9990
0,9990
+3,1
0,9990
0,9991
0,9991
0,9991
0,9992
0,9992
0,9992
0,9992
0,9993
0,9993
+3,2
0,9993
0,9993
0,9994
0,9994
0,9994
0,9994
0,9994
0,9995
0,9995
0,9995
+3,3
0,9995
0,9995
0,9995
0,9996
0,9996
0,9996
0,9996
0,9996
0,9996
0,9997
+3,4
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9998
+3,5
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
©2008-2021, Интернет-институт ТулГУ
3.2. Распределение Стьюдента. Значение аргумента t для различных значений доверительной вероятности Р и чисел степеней свободы k = n – 1
k
Р
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,95
0,98
0,99
1
0,1584
0,3249
0,5095
0,7265
1,0000
1,3764
1,9626
3,0777
6,3138
12,7062
31,8205
63,6567
2
0,1421
0,2887
0,4447
0,6172
0,8165
1,0607
1,3862
1,8856
2,9200
4,3027
6,9646
9,9248
3
0,1366
0,2767
0,4242
0,5844
0,7649
0,9785
1,2498
1,6377
2,3534
3,1824
4,5407
5,8409
4
0,1338
0,2707
0,4142
0,5686
0,7407
0,9410
1,1896
1,5332
2,1318
2,7764
3,7469
4,6041
5
0,1322
0,2672
0,4082
0,5594
0,7267
0,9195
1,1558
1,4759
2,0150
2,5706
3,3649
4,0321
6
0,1311
0,2648
0,4043
0,5534
0,7176
0,9057
1,1342
1,4398
1,9432
2,4469
3,1427
3,7074
7
0,1303
0,2632
0,4015
0,5491
0,7111
0,8960
1,1192
1,4149
1,8946
2,3646
2,9980
3,4995
8
0,1297
0,2619
0,3995
0,5459
0,7064
0,8889
1,1081
1,3968
1,8595
2,3060
2,8965
3,3554
9
0,1293
0,2610
0,3979
0,5435
0,7027
0,8834
1,0997
1,3830
1,8331
2,2622
2,8214
3,2498
10
0,1289
0,2602
0,3966
0,5415
0,6998
0,8791
1,0931
1,3722
1,8125
2,2281
2,7638
3,1693
11
0,1286
0,2596
0,3956
0,5399
0,6974
0,8755
1,0877
1,3634
1,7959
2,2010
2,7181
3,1058
12
0,1283
0,2590
0,3947
0,5386
0,6955
0,8726
1,0832
1,3562
1,7823
2,1788
2,6810
3,0545
13
0,1281
0,2586
0,3940
0,5375
0,6938
0,8702
1,0795
1,3502
1,7709
2,1604
2,6503
3,0123
14
0,1280
0,2582
0,3933
0,5366
0,6924
0,8681
1,0763
1,3450
1,7613
2,1448
2,6245
2,9768
15
0,1278
0,2579
0,3928
0,5357
0,6912
0,8662
1,0735
1,3406
1,7531
2,1314
2,6025
2,9467
16
0,1277
0,2576
0,3923
0,5350
0,6901
0,8647
1,0711
1,3368
1,7459
2,1199
2,5835
2,9208
17
0,1276
0,2573
0,3919
0,5344
0,6892
0,8633
1,0690
1,3334
1,7396
2,1098
2,5669
2,8982
18
0,1274
0,2571
0,3915
0,5338
0,6884
0,8620
1,0672
1,3304
1,7341
2,1009
2,5524
2,8784
19
0,1274
0,2569
0,3912
0,5333
0,6876
0,8610
1,0655
1,3277
1,7291
2,0930
2,5395
2,8609
20
0,1273
0,2567
0,3909
0,5329
0,6870
0,8600
1,0640
1,3253
1,7247
2,0860
2,5280
2,8453
21
0,1272
0,2566
0,3906
0,5325
0,6864
0,8591
1,0627
1,3232
1,7207
2,0796
2,5176
2,8314
22
0,1271
0,2564
0,3904
0,5321
0,6858
0,8583
1,0614
1,3212
1,7171
2,0739
2,5083
2,8188
23
0,1271
0,2563
0,3902
0,5317
0,6853
0,8575
1,0603
1,3195
1,7139
2,0687
2,4999
2,8073
24
0,1270
0,2562
0,3900
0,5314
0,6848
0,8569
1,0593
1,3178
1,7109
2,0639
2,4922
2,7969
25
0,1269
0,2561
0,3898
0,5312
0,6844
0,8562
1,0584
1,3163
1,7081
2,0595
2,4851
2,7874
26
0,1269
0,2560
0,3896
0,5309
0,6840
0,8557
1,0575
1,3150
1,7056
2,0555
2,4786
2,7787
27
0,1268
0,2559
0,3894
0,5306
0,6837
0,8551
1,0567
1,3137
1,7033
2,0518
2,4727
2,7707
28
0,1268
0,2558
0,3893
0,5304
0,6834
0,8546
1,0560
1,3125
1,7011
2,0484
2,4671
2,7633
29
0,1268
0,2557
0,3892
0,5302
0,6830
0,8542
1,0553
1,3114
1,6991
2,0452
2,4620
2,7564
30
0,1267
0,2556
0,3890
0,5300
0,6828
0,8538
1,0547
1,3104
1,6973
2,0423
2,4573
2,7500
31
0,1267
0,2555
0,3889
0,5298
0,6825
0,8534
1,0541
1,3095
1,6955
2,0395
2,4528
2,7440
32
0,1267
0,2555
0,3888
0,5297
0,6822
0,8530
1,0535
1,3086
1,6939
2,0369
2,4487
2,7385
33
0,1266
0,2554
0,3887
0,5295
0,6820
0,8526
1,0530
1,3077
1,6924
2,0345
2,4448
2,7333
34
0,1266
0,2553
0,3886
0,5294
0,6818
0,8523
1,0525
1,3070
1,6909
2,0322
2,4411
2,7284
35
0,1266
0,2553
0,3885
0,5292
0,6816
0,8520
1,0520
1,3062
1,6896
2,0301
2,4377
2,7238
©2008-2021, Интернет-институт ТулГУ
3.3. Значения критерия vα при различных числах измерения n и уровнях значимости q
n
q = 1 – α
n
q = 1 – α
0,10
0 05
0,025
0,01
0,10
0,05
0,025
0,01
3
1,406
1,412
1,414
1,414
14
2,297
2,461
2,602
2,759
4
1,645
1,68S
1,710
1,723
15
2,326
2,493
2,638
2,808
5
1,731
1,869
1,917
1,955
16
2,354
2,523
2,670
2,837
6
1,894
1,996
2,067
2,130
17
2,380
2,551
2,701
2,871
7
1,474
2,093
2,182
2,265
18
2,404
2,577
2,728
2,903
8
2,041
2,172
2,273
2,374
19
2,426
2,600
2,754
2,932
9
2,097
2,237
2,349
2,464
20
2,447
2,623
2,778
2,959
10
2,146
2,294
2,414
2,540
21
2,467
2,644
2,801
2,984
11
2,190
2,383
2,470
2,606
22
2,486
2,664
2,823
3,008
12
2,229
2,387
2,519
2,663
23
2,504
2,683
2,843
3,030
13
2,264
2,426
2,562
2,714
24
2,520
2,701
2,862
3,051
25
2,537
2,717
2,880
3,071
3.4. Распределение χ2 Пирсона. Значение χ2 для различных чисел степеней свободы k и доверительной вероятности Р
k
Р
0,01
0,02
0,05
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,95
0,98
0,99
1
0,0002
0,0006
0,0039
0,0158
0,0642
0,1485
0,2750
0,4549
0,7083
1,0742
1,6424
2,7055
3,8415
5,4119
6,6349
2
0,0201
0,0404
0,1026
0,2107
0,4463
0,7133
1,0217
1,3863
1,8326
2,4079
3,2189
4,6052
5,9915
7,8240
9,2103
3
0,1148
0,1848
0,3518
0,5844
1,0052
1,4237
1,8692
2,3660
2,9462
3,6649
4,6416
6,2514
7,8147
9,8374
11,3449
4
0,2971
0,4294
0,7107
1,0636
1,6488
2,1947
2,7528
3,3567
4,0446
4,8784
5,9886
7,7794
9,4877
11,6678
13,2767
5
0,5543
0,7519
1,1455
1,6103
2,3425
2,9999
3,6555
4,3515
5,1319
6,0644
7,2893
9,2364
11,0705
13,3882
15,0863
6
0,8721
1,1344
1,6354
2,2041
3,0701
3,8276
4,5702
5,3481
6,2108
7,2311
8,5581
10,6446
12,5916
15,0332
16,8119
7
1,2390
1,5643
2,1673
2,8331
3,8223
4,6713
5,4932
6,3458
7,2832
8,3834
9,8032
12,0170
14,0671
16,6224
18,4753
8
1,6465
2,0325
2,7326
3,4895
4,5936
5,5274
6,4226
7,3441
8,3505
9,5245
11,0301
13,3616
15,5073
18,1682
20,0902
9
2,0879
2,5324
3,3251
4,1682
5,3801
6,3933
7,3570
8,3428
9,4136
10,6564
12,2421
14,6837
16,9190
19,6790
21,6660
10
2,5582
3,0591
3,9403
4,8652
6,1791
7,2672
8,2955
9,3418
10,473
11,7807
13,442
15,9872
18,3070
21,1608
23,2093
11
3,0535
3,6087
4,5748
5,5778
6,9887
8,1479
9,2373
10,341
11,530
12,8987
14,6314
17,2750
19,6751
22,6179
24,7250
12
3,5706
4,1783
5,2260
6,3038
7,8073
9,0343
10,182
11,340
12,584
14,0111
15,8120
18,5493
21,0261
24,0540
26,2170
13
4,1069
4,7654
5,8919
7,0415
8,6339
9,9257
11,129
12,340
13,636
15,1187
16,9848
19,8119
22,3620
25,4715
27,6882
14
4,6604
5,3682
6,5706
7,7895
9,4673
10,822
12,079
13,339
14,685
16,2221
18,1508
21,0641
23,6848
26,8728
29,1412
15
5,2293
5,9849
7,2609
8,5468
10,307
11,721
13,030
14,339
15,733
17,3217
19,3107
22,3071
24,9958
28,2595
30,5779
16
5,8122
6,6142
7,9616
9,3122
11,152
12,624
13,983
15,339
16,780
18,4179
20,4651
23,5418
26,2962
29,6332
31,9999
17
6,4078
7,2550
8,6718
10,085
12,002
13,531
14,937
16,338
17,824
19,5110
21,6146
24,7690
27,5871
30,9950
33,4087
18
7,0149
7,9062
9,3905
10,865
12,857
14,440
15,893
17,338
18,868
20,6014
22,7595
25,9894
28,8693
32,3462
34,8053
19
7,6327
8,5670
10,117
11,651
13,716
15,352
16,850
18,338
19,910
21,6891
23,9004
27,2036
30,1435
33,6874
36,1909
20
8,2604
9,2367
10,851
12,443
14,578
16,266
17,809
19,337
20,951
22,7745
25,0375
28,4120
31,4104
35,0196
37,5662
21
8,8972
9,9146
11,591
13,240
15,445
17,182
18,768
20,337
21,992
23,8578
26,1711
29,6151
32,6706
36,3434
38,9322
22
9,5425
10,600
12,338
14,042
16,314
18,101
19,729
21,337
23,031
24,9390
27,3015
30,8133
33,9244
37,6595
40,2894
23
10,196
11,293
13,091
14,848
17,187
19,021
20,690
22,337
24,069
26,0184
28,4288
32,0069
35,1725
38,9683
41,6384
24
10,856
11,992
13,848
15,659
18,062
19,943
21,653
23,337
25,106
27,0960
29,5533
33,1962
36,4150
40,2704
42,9798
25
11,524
12,697
14,611
16,473
18,940
20,867
22,616
24,337
26,143
28,1719
30,6752
34,3816
37,6525
41,5661
44,3141
26
12,198
13,409
15,379
17,292
19,820
21,792
23,579
25,337
27,179
29,2463
31,7946
35,5632
38,8851
42,8558
45,6417
27
12,879
14,125
16,151
18,114
20,703
22,719
24,544
26,336
28,214
30,3193
32,9117
36,7412
40,1133
44,1400
46,9629
28
13,565
14,848
16,928
18,939
21,588
23,648
25,509
27,336
29,249
31,3909
34,0266
37,9159
41,3371
45,4188
48,2782
29
14,257
15,575
17,708
19,768
22,475
24,577
26,475
28,336
30,283
32,4612
35,1394
39,0875
42,557
46,6927
49,5879
30
14,954
16,306
18,493
20,599
23,364
25,508
27,442
29,336
31,316
33,5302
36,2502
40,2560
43,773
47,9618
50,8922
©2008-2021, Интернет-институт ТулГУ
3.5. Составной критерий
5.1. Квантили распределения статистики d в зависимости от числа измерения n и уровня значимости q
n
d0,0l
d0,05
d0,10
d0,90
d0,95
d0,99
11
0,9359
0,9073
0,8899
0,7409
0,7153
0,6675
16
0,9137
0,8884
0,8733
0,7452
0,7236
0,6829
21
0,9001
0,8768
0,8631
0,7495
0,7304
0,6950
26
0,8901
0,8686
0,8570
0,7530
0,7360
0,7040
31
0,8827
0,8625
0,8511
0,7559
0,7404
0,7110
36
0,8769
0,Р578
0,8468
0,7583
0,7440
0,7167
41
0,8722
0,8540
0,8436
0,7604
0,7470
0,7216
46
0,8682
0,8508
0,8409
0,7621
0,7496
0,7256
51
0,8648
0,8481
0,8385
0,7636
0,7518
0,7291
5.2. Значения параметров m и α в зависимости от числа измерения n и уровня значимости i и уровня значимости q
n
m
α при уровне значимости q, равном
0,01
0,02
0,05
10
1
0,98
0,98
0,96
11-14
1
0,99
0,98
0,97
15-20
1
0,99
0,99
0,98
21-22
9
0,98
0,97
0,96
23
2
0,98
0,98
0,96
23-27
2
0,98
0,98
0,97
28-32
2
0,99
0,98
0,97
33-35
2
0,99
0,98
0,98
36-49
2
0,99
0,99
0,98
