Решение систем алгебраических уравнений методом Крамера

Данный метод используется исключительно для решения тех систем алгебраических уравнений, основной определитель матрицы которой не равен нулю.
Пусть дана система линейных уравнений следующего вида:

Общий вид системы трех алгебраических уравнений

$\begin{cases} a_{11}x_1+ a_{12}x_2+ a_{13}x_3=b_1 \\ a_{21}x_1+ a_{22}x_2+ a_{23}x_3=b_2 \\ a_{31}x_1+ a_{32}x_2+ a_{33}x_3=b_3 \end{cases}$

Первым шагом при решении систем уравнений данным способом является нахождение определителя главной матрицы. То есть, находится такое число:

$\Delta=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix}$

Затем вычисляется определитель, полученный путем замены первого столбца исходного определителя на столбец свободных членов:

$\Delta_1=\begin{vmatrix} b_1& a_{12} & a_{13} \\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix}$

Далее последовательно вычисляются еще два определителя, в которых так же последовательно столбцы с коэффициентами $a_{ij}$ заменяются на столбец правой части данной системы (столбец свободных членов $b_i$ ).
Получаем:

$\Delta_2=\begin{vmatrix} a_{11}& b_1 & a_{13} \\ a_{21} & b_2 & a_{23} \\ a_{31} & b_3 & a_{33} \\ \end{vmatrix}$

$\Delta_2=\begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & b_3 \\ \end{vmatrix}$

После всех этих действий корни (решения системы) вычисляются путем деления каждого из полученных определителей на исходный определитель основной матрицы системы. Выглядит это так:

Решение системы уравнений методом Крамера

$x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta}$

$x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta}$

$x_3=\frac{\Delta_3}{\Delta}$

Здесь будет калькулятор

Теперь понятно, почему этот метод работает только тогда, когда определитель матрицы, составленный из коэффициентов $a_{ij}$ не равен нулю. Ведь тогда, при нахождении $x$ нам пришлось бы делить на ноль.

Количество корней зависит от количества уравнений.
Разберем пример.

Задача 1

$\begin{cases} 2y+x+z=-1 \\ -z-y+3x=-1 \\ -2x+3z+2y=5 \end{cases}$

Решение

Во избежание путаницы необходимо сначала упорядочить эту систему. Проделаем этот шаг:

$\begin{cases} x+2y+z=-1 \\ 3x-y-z=-1 \\ -2x+2y+3z=5 \end{cases}$

Вычисляем первый определитель (основной):

$\Delta=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \\ -2 & 2 & 3 \\ \end{vmatrix}=1\cdot(-1)\cdot3 + 2\cdot(-1)\cdot(-2) + 1\cdot3\cdot2 - 1\cdot(-1)\cdot(-2) - 1\cdot(-1)\cdot2 - 2\cdot3\cdot3 = -3 + 4 + 6 - 2 + 2 - 18 = -11$

Следующие определители:

$\Delta_1=\begin{vmatrix} -1 & 2 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 5 & 2 & 3 \\ \end{vmatrix}=(-1)\cdot(-1)\cdot3 + 2\cdot(-1)\cdot5 + 1\cdot(-1)\cdot2 - 1\cdot(-1)\cdot5 - (-1)\cdot(-1)\cdot2 - 2\cdot(-1)\cdot3 = 3 - 10 - 2 + 5 - 2 + 6 = 0$

$\Delta_2=\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \\ -2 & 5 & 3 \\ \end{vmatrix}=1\cdot(-1)\cdot3 + (-1)\cdot(-1)\cdot(-2) + 1\cdot3\cdot5 - 1\cdot(-1)\cdot(-2) - 1\cdot(-1)\cdot5 - (-1)\cdot3\cdot3 = -3 - 2 + 15 - 2 + 5 + 9 = 22$

$\Delta_3=\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & -1 \\ -2 & 2 & 5 \\ \end{vmatrix}=1\cdot(-1)\cdot5 + 2\cdot(-1)\cdot(-2) + (-1)\cdot3\cdot2 - (-1)\cdot(-1)\cdot(-2) - 1\cdot(-1)\cdot2 - 2\cdot3\cdot5 = -5 + 4 - 6 + 2 + 2 - 30 = -33$

Находим корни:

$x=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{0}{-11}=0$

$y=\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{22}{-11}=-2$

$z=\frac{\Delta_3}{\Delta}=\frac{-33}{-11}=3$

Выполняем проверку:

$\begin{cases} 2\cdot(-2)+0+3=-1 \\ -3-(-2)+3\cdot0=-1 \\ -2\cdot0+3\cdot3+2\cdot(-2)=5 \end{cases}$

Так как тождества верны, можно сделать вывод, что корни уравнений найдены правильно.

Ответ

$x=0$
$y=-2$
$z=3$

Статья по математике на заказ от проверенных исполнителей!

Метод Крамера

Комментарии
0

Следующая статья

Интересные статьи за сегодня

Метод Крамера

Комментарии 0

Следующая статья

Интересные статьи за сегодня

Комментарии
0