Закон Больцмана

Распределение Максвелла предполагает, что на молекулы газа не действуют внешние силы. Поэтому молекулы равномерно распределены в определенном объеме. Фактически молекулы газов находятся под действием поля тяготения Земли. Только совокупное действие теплового движения молекул и сил притяжения приводит к тому, что в земной атмосфере молекулы воздуха распределены определенным образом и не скучены на поверхности Земли, то есть существует такое состояние воздуха, при котором его давление уменьшается с высотой. Это изменение впервые наблюдал Б. Паскаль, который поднял барометр Торричелли на колокольню в Руане.

Барометрическая формула

Уравнение, позволяющее определить изменение давления воздуха с высотой, называют барометрической формулой. Ее впервые получил П. Лаплас в 1821:

$p={{p}_{0}}{{e}^{-\frac{Mg}{RT}(h-{{h}_{0}})}}$,

где $p_0$ – давление на нулевом уровне, Па;
$p$ – давление на высоте $h$, м над этой поверхностью, Па;
$m$ – масса молекулы (для воздуха равна массе молекулы азота), кг;
$g$ – ускорение свободного падения, м/с2;
$k$ – постоянная Больцмана, Дж / К;
$T$ – абсолютная температура воздуха, К.

Это уравнение точно подтверждается для небольших высот (несколько километров).

Барометрическая формула показывает, что с высотой давление экспоненциально спадает и тем быстрее, чем больше молярная масса газа или низкая температура. Из формулы также видно, что уменьшение давления зависит от ускорения свободного падения.

На разных планетах молекулы должны по-разному распределяться по высоте. Например, Луна (на поверхности которой $g$ = 1,62 м/с2) вообще не имеет атмосферы. Очевидно, потеря атмосферы произошла вследствие рассеивания ее в мировое пространство (конечно, если атмосфера вокруг Луны вообще существовала).

Закон распределения частиц Больцмана

Из барометрической формулы нетрудно вывести закон распределения молекул газа по высоте в поле тяжести. Поскольку $р = nkT$, то из барометрической формулы получим:

$n={{n}_{0}}{{e}^{-\frac{mg}{kT}(h-{{h}_{0}})}}$

или

$n={{n}_{0}}{{e}^{-\frac{\Delta U}{kT}}}$

Данная зависимость получила название закона Больцмана.

Больцман показал, что этот закон распределения частиц является универсальным. Он справедлив для любых частиц, которые участвуют в тепловом движении и находятся в любом потенциальном силовом поле внешних сил. При этом изменится только выражение потенциальной энергии как энергии взаимодействия $ΔU$. Этот статистический закон называется распределением Больцмана и является одним из основных законов молекулярно-кинетической теории.

Закон Больцмана показывает, что для равновесного состояния при данной температуре $Т$ объемная концентрация частиц $n$ возрастает при уменьшении $U$, что соответствует тенденции устойчивого равновесия системы.

Статистический характер распределения Больцмана указывает на возможность флуктуации концентрации молекул, то есть на случайные изменения концентраций в малых объемах.

Статья по физике на заказ от проверенных исполнителей!

Тест по теме «Закон Больцмана»