Уравнения движения. Часть 2

Начало статьи можно прочитать здесь.

Соотношение между скоростью и временем является простым при равномерно ускоренном прямолинейном движении. Чем больше ускорение, тем больше изменение скорости. Изменение скорости прямо пропорционально времени, когда ускорение является постоянным.

Cкорость – время

Начнем с определения ускорения.

$а = Δ v / Δ t$

Поскольку $Δ v = v – v_0$, а $Δ t$ заменим просто на $t$ .

$а = (v – v_0 ) / t$

Тогда решим v как функцию от $t$ .

$v = v_0 + at [1]$

Это первое уравнение движения. Оно написан как многочлен – постоянный член ( $v_0$ ), за
которым следует член первого порядка ( $at$ ).

Величиной $v_0$ называется начальной скоростью или скоростью в момент времени $t = 0$.
Символ $v$ – это скорость через некоторое время $t$ после начальной скорости. Ее часто называют конечной скоростью, но это не делает ее «последней скоростью» объекта. Последняя часть этого уравнения при представляет собой изменение скорости от начального значения. Напомним, что ускорение $a$ – это величина изменения скорости, при этом $t$ – время после некоторого начального события.

Положение – время

Перемещение пропорционально квадрату времени, когда ускорение постоянная и начальная скорость равна нулю. Истинное общее утверждение должно учитывать любую начальную скорость и то, как скорость меняется. Перемещение является квадратичной функцией времени, когда ускорение является постоянным.

Утверждения пропорциональности полезны, но не так кратки, как уравнения. Мы до сих пор не знаем, каковы константы пропорциональности для этой проблемы. Один из способов выяснить это – использовать алгебру.

Начнем с определения скорости.

$\overline v = Δ s / Δ t$

Заменим $Δs$, как $s$ – $s_0$ и покажем $Δ t$ как $t$ .

$\overline v = (s – s_0 ) / t$

Решим уравнение для перемещения:

$s = s_0 + \overline v t [a]$

Чтобы продолжить, нам нужно прибегнуть к теореме о средней скорости.

Теорема о средней скорости

Когда скорость изменения количества постоянна, количество изменяется с одинаковой скоростью, так что ее среднее значение находится посередине между ее начальными и конечными значениями.

$\overline v = ½ ( v + v_0 ) [4]$

Подставим первое уравнение движения [1] в это уравнение [4] и упростим с целью устранения $v$.

$\overline v = ½ [( v_0 + at ) + v_0]$

$\overline v = ½ (2v_0 + at )$

$\overline v = v_0 + ½(at) [б]$

Теперь заменим [б] на [a], чтобы убрать $\overline v$.

$s = s_0 + ( v_0 + ½ at )t$

И, наконец, решим для $s$ как функции от $t$ .

$s = s_0 + v_0 t + ½ at^2 [2]$

Это второе уравнение движения. Оно написано как многочлен – постоянный член ( $s_0$ ),
за которым следует член первого порядка ( $v_0 t$ ), за которым следует член второго поря ( $½ at^2$ ).

Поскольку высший порядок равен 2, правильнее называть его квадратичным.

Скорость – положение

Первые два уравнения движения описывают одну кинематическую переменную как функцию времени. По сути:

1. Скорость прямо пропорциональна времени, когда ускорение является постоянным ( $v ~ t$ ).
2. Перемещение пропорционально квадрату времени, когда ускорение постоянное ( $Δ s ~ t^2$ ).
   Сочетание этих двух утверждений приводит к третьему, которое не зависит от времени. При
   замене должно быть очевидно, что:
3. Перемещение пропорционально квадрату скорости, когда ускорение постоянное ( $Δ s ~ v^2$ ).

Это утверждение особенно важно для безопасности вождения.

Когда вы удваиваете скорость автомобиля, для его остановки требуется в четыре раза большее расстояние.

Концептуальное введение сделано. Время вывести формальное уравнение. Объедините первые два уравнения таким образом, чтобы исключить время как переменную. Самый простой способ сделать это – начать с первого уравнения:

$v = ( v_0 + at ) [1]$

решим это уравнение для времени:

$t = (v - v_0 ) / a$

а затем подставив его во второе уравнение:

$s = s_0 + v_0 t + ½ at^2 [2]$

Получим уравнение:

$v^2 = v_0^2 + 2 a ( s - s_0 ) [3]$

Это третье уравнение движения. Еще раз, символ $s_0$ является начальным положением, а $s$ – положением через некоторое время $t$ .Можно переписать уравнение, используя $Δs$ –изменение положения, перемещение , или расстояние в зависимости от ситуации.

$v^2 = v_0^2 + 2 a Δs$

Не знаете, где заказать написание статьи по физике на заказ? Авторы Студворк к вашим услугам!

Тест по теме «Уравнения движения. Часть 2»