Теплоемкость идеального газа

Энергия поступательного движения (ЭПД) молекул идеального газа не одинакова, и распределение Максвелла указывает долю частиц, у которых ЭПД заключена в пределах от $\epsilon$ до $\epsilon + d\epsilon$, а значит, оно позволяет определить ее среднюю величину, которая оказывается равной $1,5kT$, где $k$ – постоянная Больцмана, а $T$ – абсолютная температура.

Следовательно, ЭПД молекул одного моля газа

$E_\text {П} =NA*1,5kT = 1,5RT$,

а если число молей $ν$, то

$E_\text {П}= 1,5νRT$,

где $R$ – универсальная газовая постоянная,

$T$ – абсолютная температура газа.

Соответственно, для увеличения температуры газа на $\Delta T$ к нему следует подвести энергию или, выражаясь термодинамическим языком, – количество теплоты $\delta Q = 1,5νR\Delta T$. По определению, теплоемкость $C = \delta Q / \Delta T$, и значит, если теплота идет только на увеличение ЭПД молекул газа, то его теплоемкость $C$ составляет $1,5νR$.

Степени свободы

В общем случае, согласно первому началу термодинамики, поступающее извне тепло расходуется как на увеличение внутренней энергии, так и на совершение работы, поэтому рассмотренный выше случай имеет место, если газ не совершает работу (или над газом не совершают работы). Другими словами, когда объем газа постоянен. Кроме того, движение молекул газа может быть не только поступательным, но и вращательным, и даже колебательным – когда смещаются относительно положений равновесия атомы, составляющие молекулу.

Полученный выше результат относится к частному случаю одноатомного идеального газа (тогда у молекул только поступательное движение) при постоянном его объеме.

В теории идеального газа виды движения характеризуются числом степеней свободы $i$: поступательное движение имеет три степени свободы, вращательное – тоже три для многоатомных молекул, но вот у двухатомных – а это азот, кислород, водород и многие другие распространенные газы – вращательное движение имеет только две степени свободы. Если абсолютная температура не превышает $500 K$, колебательное движение можно не принимать во внимание. Говорят, что соответствующие степени свободы «заморожены», но при более высоких температурах его необходимо учитывать, и колебательное движение вдоль каждого возможного направления имеет две степени свободы. Рассмотрение взаимодействия различных видов движения приводит к замечательному выводу:

средняя энергия, приходящаяся на одну степень свободы, составляет $0,5kT$.

Результаты постоянства

Итак, в общем случае при неизменном объеме теплоемкость газа составляет $0,5iνRT$. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно обобщить, повторяя почти слово в слово, рассуждение для одноатомного газа. Если число молей $ν = 1$, то теплоемкость

$C = 0,5iRT$.

Ее принято называть молярной теплоемкостью при постоянном объеме и обозначать символом $c_v$.

Когда число молей не равно единице, то, разумеется, теплоемкость $C = ν_cv$. Не забываем также, что внутренняя энергия идеального газа $U = ν_cvT$.

В дополнение к теплоемкости при постоянном объеме оказывается достаточно просто определить теплоемкость при постоянном давлении газа: в этом случае согласно уравнению Менделеева-Клапейрона

$\Delta (pV) = p\Delta V = νR\Delta T$,

а в соответствии с первым началом термодинамики и выражением для работы газа

$\delta Q = \delta A + \Delta U = p\Delta V + \Delta U = νR\Delta T + ν_cv\Delta T = ν(R + C_v)\Delta T$.

По определению теплоемкости

$C = \delta Q/ \Delta T = ν(c_v + R)$,

для одного моля газа теплоемкость обозначается $c_p$ и называется молярной теплоемкостью при постоянном давлении.

Таким образом,

$c_p = c_v + R$.

Это выражение называется соотношением Майера в честь немецкого врача (совсем не физика!), тонкие наблюдения и остроумные умозаключения которого способствовали установлению связи между теплотой и механической энергией.

Итак, вспомним вкратце полученные результаты для теплоемкостей идеального газа:

• теплоемкость при постоянном объеме $CV = ν_cv$, где молярная теплоемкость при постоянном объеме $cv = 0,5iRT$, $i$ – число степеней свободы молекулы;
• теплоемкость при постоянном давлении $C_p = νc_p$, где молярная теплоемкость при постоянном давлении $c_p = c_v + R$.

Научная статья по физике на заказ от проверенных экспертов по низкой цене!

Тест по теме «Теплоемкость идеального газа»