Закон сохранения импульса

Закон сохранения импульса системы двух тел

Чтобы лучше понять закон сохранения импульса в механике, начнем с самого простого случая — изолированной системы двух взаимодействующих материальных точек. Для такой системы закон сохранения импульса можно записать так:

Закон сохранения импульса для двух точек

$\vec{p}_1+\vec{p}_2=const$,

где

$\vec{p}_1, \vec{p}_2$ — импульсы первой и второй точек,

или

$\frac{d\vec{p}}{dt}=0$,

где

$\vec{p}=\vec{p}_1+\vec{p}_2$ — общий импульс системы (сумма импульсов тел).

Общий импульс изолированной системы двух тел не изменяется со временем.

Закон сохранения импульса в классической механике является одним из наиболее важных законов сохранения в физике. С его помощью можно очень просто решать многие задачи. Нужно уже сейчас сказать, что этот закон справедлив также и в релятивистской механике (специальной теории относительности), но определение импульса там уже другое, это уже не просто произведение массы тела на его скорость. Но здесь мы ограничимся только рассмотрением закона сохранения импульса в классической нерелятивистской механике.

Закон сохранения импульса и третий закон Ньютона

Закон сохранения импульса для двух тел можно получить с помощью третьего закона Ньютона. Действительно, согласно этому закону, сила $\vec{F}_1$ с которой второе тело действует на первое равна по модуле силе $\vec{F}_2$ с которой первое тело действует на второе, но эти силы противоположны по направлению:

Третий закон Ньютона

$\vec{F}_1=-\vec{F}_2$
$F_1=F_2$

Теперь вспомним, что согласно второму закону Ньютона:

$\dot{\vec{p}_1}=\vec{F}_1$
$\dot{\vec{p}_2}=\vec{F}_2$,

где точка над вектором импульса обозначает производную по времени.

Тогда, пользуясь третьем законом Ньютона, получаем:

$\dot{\vec{p}_1}=-\dot{\vec{p}_2}$

или

$\dot{\vec{p}_1}+\dot{\vec{p}_2}=0$

или, наконец:

$\frac{d}{dt}(\vec{p}_1+\vec{p}_2)=0$,

что и требовалось доказать.

Закон сохранения импульса для произвольного количества тел изолированной системы

Обобщим теперь закон сохранения импульса на изолированную систему, в которой есть $n$ взаимодействующих тел (материальных точек). Здесь третий закон Ньютона можно применить к любой паре взаимодействующих тел. Тогда мы приходим к «обобщенному» закону сохранения импульса:

Закон сохранения импульса системы материальных точек

$\vec{p}_1+\vec{p}_2+...+\vec{p}_n=const$

или

$\frac{d\vec{p}}{dt}=0$,

где

$\vec{p}=\vec{p}_1+\vec{p}_2+...+\vec{p}_n$ — общий импульс системы.

Вектор импульса системы взаимодействующих тел остается постоянным и не изменяется со временем.

Случай неизолированной системы тел

Нельзя забывать, что речь идет именно об изолированной системе, то есть о такой системе, где на тела этой системы не действуют никакие внешние силы. Если система является незамкнутой, то общий импульс системы может изменяется со временем, и в общем случае мы получаем:

$\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}_{\text{внеш}}$,

где $\vec{p}$ — импульс системы, а $\vec{F}_{\text{внеш}}$ — равнодействующая (векторная сумма) всех внешних сил, действующих на систему.

Отсюда видно, что если $\vec{F}_{\text{внеш}}=0$ (система замкнута), то мы приходим к закону сохранения импульса.

Отсюда кстати видно что закон сохранения импульса справедлив и для системы, состоящей всего из одной точки. Это следует из самого второго закона Ньютона. Если на тело не действует никакая сила, то его импульс равен постоянной величине.

Не получается самостоятельно разобраться с темой? Заказать написание статьи по физике!

Тест по теме «Закон сохранения импульса»