Центростремительное ускорение

При равномерном круговом движении направление скорости постоянно меняется, поэтому всегда существует соответствующее ускорение, даже если величина скорости может быть постоянной. Такое ускорение можно испытать, находясь в машине, которая выполняет поворот. Чем резче изгиб поворота и чем выше скорость, тем заметнее будет это ускорение.

Рисунок выше показывает объект, движущийся по круговой траектории с постоянной скоростью. Направление мгновенной скорости показано в двух точках пути. Ускорение происходит в направлении изменения скорости, которое указывает непосредственно к центру вращения (центру круговой траектории). Это указание показано на векторной диаграмме на рисунке.

Ускорение объекта, движущегося в равномерном круговом движении (в результате действия внешней силы), центростремительным ускорением ($a_ц$); центростремительный означает «к центру».

Направления скорости объекта показаны в двух разных точках, и изменение скорости $v$, как видно, указывает прямо к центру кривизны. Поскольку $a_ц = v / t$ ,то ускорение также направлено к центру; $a_ц$ называется центростремительным ускорением. Поскольку угол $θ$ очень мал, длина дуги $Δs$ эквивалентна длине хорды $Δr$ для небольшого отрезка времени.

На данном рисунке показан круг с треугольником, имеющим вершины $ABC$ от центра к границе. $A$ находится в центре, а точки $B$ и $C$ находятся на круговой траектории. Линии $AB$ и $AC$ – радиусы, а $BC$ – это хорда. Дельта-тета ($Δθ$) показан внутри треугольника, а также даны $Δs$ длины дуги и $Δr$ длина хорды. В точке $B$ скорость объекта показана как $v_1$, а в точке C скорость объекта показана как $v_2$.

Направление центростремительного ускорения – к центру кривизны, но какова его величина? Нужно обратить внимание, что треугольники, образованные векторами скорости, с $Δr$ и $Δs$ похожи. Оба треугольника $ABC$ и $PQR$ являются равнобедренными треугольниками (две равные стороны). Две равные стороны треугольника вектора скорости являются скоростями $v_1 = v_2 = r$. Используя свойства двух одинаковых треугольников, получаем:

$\frac vv=\frac sr$

Ускорение есть $v/t$, и поэтому сначала решается это выражение для $v$:

$v\;=\;\frac vrs$

Затем делим обе части уравнения на $t$:

$\frac{v\;}t=\;\frac vr\frac st$

Наконец, отмечая что $a_ц = v / t$ и $v = s / t$ – линейная или тангенциальная скорость, видно, что величина центростремительного ускорения равна:

$a_ц\;=\;\frac{v^2}r$

которое является ускорением объекта движущегося по кругу радиуса $r$ скоростью $v$. Таким образом, центростремительное ускорение больше на высоких скоростях и на крутых поворотах (c меньшим радиусом).

Не знаете, сколько стоит статья по физике на заказ? Обратитесь к нашим экспертам!

Тест по теме «Центростремительное ускорение»