Теория вероятностей и математическая статистика (контрольная)

Задание 1

Случайная величина X имеет нормальное распределение. Известно: P{X<12}=0,15 и P{X>16,2}=0,4. Найти математическое ожидание и дисперсию X, а также вычислить вероятность P{10<X<15}.

Задание 2

Найдите P(X∈2;4)), если:

а) X нормально распределена, E(X)=3; D(X)=2.

б) X равномерно распределена на отрезке [1;5].

в) X распределена экспоненциально и E(X)=3.

Задание 3

Найти математическое ожидание и дисперсию нормально распределенной случайной величины X, если известно, что P{X<0,5}=0,15 и P{X>4}=0,35. Вычислить вероятность P{0<X<3}.

Задание 4

Бомбардировщик, летящий вдоль моста длиной 30 метров и шириной 8 метров, сбрасывает бомбу. Отклонения X и Y от осей симметрии моста являются независимыми нормальными случайными величинами с нулевыми средними и ср.кв. отклонениями 6 и 4 метра соответственно. С какой вероятностью бомба попадет в мост? С какой вероятностью будет хотя бы одно попадание, если сброшены две бомбы?

Задание 5

Найти математическое ожидание и дисперсию нормально распределенной случайной величины X, если известно, что P{X<0,6}=0,17 и P{X>3}=0,39. Вычислить вероятность P{0,5<X<3,5}.

Задание 6

Случайная величина X, ошибка измерительного прибора, имеет нормальное распределение с дисперсией 16 мк.; системная ошибка отсутствует. Найти вероятность того, что в пяти независимых измерениях ошибка X:

а) превзойдет по величине 6 мк. не более 3 раз;

б) хотя бы один раз окажется в интервале 0,5-3,5 мк.

Задание 7

Предположим, вероятность того, что среднегодовой доход X наугад выбранного жителя некоторого города не превосходит уровень x, равна:

P(X≤x)=a+be^(-x/300)

а) Найдите числа a и b;

б) Найдите математическое ожидание и медиану дохода жителя города. Какую из данных характеристик следует использовать для рапорта о высоком уровне жизни?

Задание 8

Случайные величины X и Y независимы и имеют функции плотности:

f(x)=1/(4√2π) ∙e^(-(x-1)^2/32)

g(x)=1/(3√2π) ∙e^(-x^2/18)

Соответственно. Найдите:

а) E(X), D(X), E(Y), D(Y).

б) E(X-Y), D(X-Y).

Задание 9

Найти математическое ожидание и дисперсию нормально распределенной случайной величины X, если известно, что P{X<1,25}=0,85 и P{|X|<1,25}=0,75. Вычислить вероятность P{1<X<1,25}.

Задание 10

Время ожидания автобуса на остановке есть случайная величина X с экспоненциальным распределением. Какова вероятность того, что время ожидания будет больше математического ожидания X? С какой вероятностью из двух поездок на автобусе хотя бы один раз придется ждать больше среднего? Зависят ли эти вероятности от параметра экспоненциального распределения?

Задание 11

Случайная величина X имеет нормальное распределение. Известно: P{ξ<12}=0,15 и P{ξ>16,2}=0,4. Найти математическое ожидание и дисперсию X, а также вычислить вероятность P{10<ξ<15}.

Задание 12

Время (в часах), за которое студенты выполняют экзаменационное задание, является случайной величиной Y с функцией плотности:

f(y)={█(■(cy^2+y&;&0≤y≤1@0&;&else))┤

а) Найдите константу c.

б) Найдите функцию распределения и постройте ее.

в) Вычислите вероятность того, что случайно выбранный студент закончит работу менее чем за полчаса.

г) Найдите медиану распределения.

е) Определите вероятность того, что студент, которому требуется, по меньшей мере, 15 минут для выполнения задания, справится с ним более, чем за 30 минут.

Задание 13

Плотность распределения случайной величины ξ задана формулой:

p(x)=A/(e^x+e^(-x) ); -∞<x<∞

Найти константу A, вычислить вероятность P{ξ>1}.

Задание 14

Завод изготавливает шарики для подшипников. Диаметр шарика является нормально распределенной случайной величиной с параметрами a=5 мм и σ=0,005 мм. При контроле бракуются шарики, диаметр которых отличается от номинала больше чем на 0,01 мм. Какой процент шариков будет браковаться? Отсортированные таким образом шарики поступают на сборку подшипников, по 12 шариков для каждого подшипника. Собранный подшипник будет отбракован, если в него попало более 3-х шариков с диаметром, отличающимся от номинала более чем на 0,005 мм. Какой процент подшипников в среднем будет браковаться?

Задание 15

Определите математическое ожидание и дисперсию случайной величины, если ее функция плотности имеет вид:

f(x)=ce^(-2(x+1)^2 )

Вычислите вероятность P{-3<X<5}.

Задание 16

Квантилью порядка p (0<p<1) непрерывной монотонной функции распределения F(x) называется число zp, удовлетворяющее уравнению F(z_p )=p. Вычислим квантили порядка 0,1 и 0,05 для стандартного нормального распределения, распределения Коши, имеющего плотность

f(x)=1/π∙1/(1+x^2 )

и распределения экстремального значения, которое определяется формулой:

F(x)=exp⁡(-e^(-x))