Высшая математика Вариант 10 (8 заданий)

1. Дана функция z = 2x2y2 + 2y2x, точка A(1; 1) и вектор a = 2i + j. Найти:

1) gradz в точке A;

2) производную z в точке A по направлению вектора a.

2. Дана функция z = ln(x + e-y). Показать, что .

3. Дана функция z = xy + 2y2 – 2x и две точки A(1; 2) и В(0,97; 2,03).Требуется:

1) вычислить для функции значение z1 в точке B;

2) вычислить приближённое значение функции в точке B, исходя из значения z0 функции в точке A, заменяя приращение функции при переходе от точки A к точке B дифференциалом, и оценить в процентах относительную погрешность, возникшую при замене приращения функции её дифференциалом.

4. Данную функцию z = 2x3 – x2 + xy – 4x + 3 исследовать на экстремум.

5. Изменить порядок интегрирования в интеграле. Область интегрирования изобразить на чертеже.

.

6. С помощью двойного интеграла найти площадь плоской фигуры, ограниченной данными линиями. Сделать чертёж.

y + x2 = 8, y + 3x = 8.

7. Вычислить двойной интеграл x (2x3 + y) dxdy по области D, ограниченной линиями xy = 1, y = x, x = 2. Построить область интегрирования.

8. Вычислить криволинейный интеграл (x – y)2 dx + (x + y)2 dy, если L – отрезок прямой от O(0; 0) до B(4; 2).