Теория вероятностей СПбГТУ Вариант 10 (9 заданий)

Теория вероятностей СПбГТУ Вариант 10 (9 заданий)

Санкт-Петербургский Государственный Технический Университет

Ю.Д. Максимов, Б.А. Куклин, Ю.А. Хватов

МАТЕМАТИКА

Выпуск 6

Теория вероятностей

Контрольные задания с образцами решений

Тест

Конспект-справочник

Санкт-Петербург

Издательство СПбГТУ

2002

Теория вероятностей

Вариант 10 (9 заданий)

   1. Билеты на стадион разделены на 7 категорий – по секторам. Найти вероятность того, что 4 конкретных покупателя приобретут билеты разных категорий, если считать, что приобретение билета в любой сектор каждым покупателем равновероятно.

   2. Дана схема включения элементов.

   Вероятность отказа каждого элемента в течение времени  равна . Элементы работают независимо и включены в цепь по приведённой схеме. Пусть событие  означает отказ элемента с номером   , а событие  – отказ цепи за время  (превращение тока в цепи). Требуется:

2.1. Написать формулу, выражающую событие  через все события .

2.2. Найти вероятность события .

2.3. Вычислить  при .

   3. На любой из позиций импульсного кода могут быть с равной вероятность переданы «0» (отсутствие импульса) и «1» (импульс). Помехами «1» преобразуется в «0» с вероятностью 0,02 и «0» в «1» с вероятностью 0,04.

   3.1. Найти вероятность приёма «0» на конкретной позиции кода.

3.2. Найти вероятность того, что был передан «0», если принят «0».

   4. В первой партии –  деталей. Вероятность брака в этой партии – . Во второй партии –  деталей, вероятность брака – . Найти вероятность того, что в обеих партиях нет бракованных деталей.

   4.1. Вычислить эту формулу по точной формуле при 

 .

   4.2. Вычислить ту же вероятность с помощью приближённой формулы Пуассона.

   4.3. Вычислить абсолютную  и относительную  погрешности приближённого вычисления.

   5. Готовые детали проверяются последовательно двумя контролёрами. Вероятность брака равна . Первый контролёр обнаруживает бракованную деталь с вероятностью , второй – с вероятностью . Проверено  деталей.

   5.1. Найти закон распределения числа  деталей, забракованных контролёрами.

   5.2. Найти математическое ожидание .

   5.3. Вычислить  при .

   6. Плотность вероятности случайной величины  задана формулой

 .

   Найти:

6.1. ;

6.2. ;

6.3. ;

6.4. ;

6.5. ;

6.6. ;

6.7.  – нижнюю квартиль;

6.8. Построить графики  и .

   7. Номинальное значение толщины  установочного кольца, вытачиваемого на токарном автомате, равно  мм. Среднее квадратическое отклонение равно 0,15 мм. Предполагается, что случайная величина  распределена нормально. Найти вероятность того, что изготовленное кольцо будет иметь толщину, отличающуюся от номинала  более, чем на 3 % номинала.

   8. Детали на производстве сортируются на 4 группы по величине отклонений от номиналов двух существенных параметров. Отклонения ранжируются. Ранги ,  отклонений могут принимать лишь значения 0 и 1. Распределение двумерной случайной величины  задано таблицей.

    0   1

0    = 0,9    = 0,03

1    = 0,02    = 0,05

Здесь:

 .

   Найти коэффициент корреляции , называемый ранговым.

   9. Плотность вероятности двумерной случайной величины  задана формулой:

 .

   Найти:

9.1. ;

9.2. , ;

9.3. , ;

9.4. , ;

9.5. ;

9.6. выяснить, зависимы или нет , .