Теория вероятностей СПбГТУ Вариант 27 (9 заданий)

Теория вероятностей СПбГТУ Вариант 27 (9 заданий)

Санкт-Петербургский Государственный Технический Университет

Ю.Д. Максимов, Б.А. Куклин, Ю.А. Хватов

МАТЕМАТИКА

Выпуск 6

Теория вероятностей

Контрольные задания с образцами решений

Тест

Конспект-справочник

Санкт-Петербург

Издательство СПбГТУ

2002

Теория вероятностей

Вариант 27 (9 заданий)

1. В партии из L изделий имеются дефектные изделия. Для контроля из партии случайным образом выбираются l изделий. Вся партия принимается, если среди выбранных изделий не оказывается дефектных. Найти вероятность p приёмки партии, если в ней R дефектных изделий. Вычислить эту вероятность при L = 20, l = 4, R = 2.

2. Дана схема включения элементов.

Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение времени T равна p. Элементы работают независимо и включены в цепь по приведённой схеме. Пусть событие Ai означает безотказную работу за время T элемента с номером i (i = 1, 2, …), а событие B – безотказную работу всей цепи. Требуется:

2.1. Написать формулу, выражающую событие B через все события Ai.

2.2. Найти вероятность события B.

2.3. Вычислить P(B) при p = 1/2.

3. Медицинский анализ выявляет имеющуюся у больного болезнь a с вероятностью p1 и ошибочно указывает на эту болезнь при её отсутствии с вероятностью p2. У больных, направленных на анализ с предварительным диагнозом болезни a, она встречается с вероятностью p.

3.1. Найти вероятность P(A) того, что у пациента анализ не укажет на болезнь a.

3.2. Вычислить P(A) при p = 0,7, p1 = 0,9, p2 = 0,1.

3.3. Вычислить по формуле Байеса вероятность того, что у пациента действительно отсутствует болезнь a при условии, что и анализ на неё не указал.

4. За период в 131 год с 1865 по 1995 г. в Санкт-Петербурге 10-го января среднесуточная температура выше 0° (событие A) наблюдалась 20 раз, из них выше плюс 3° (событие B) – всего 1 раз (+3,8° в 1971 г.). Исходя из этих статистических данных, примем P(A) = 20/131 = 0,15, P(B) = 1/131 = 0,008.

4.1. Найти вероятность того, что в предстоящие ближайшие 4 года событие A будет наблюдаться не менее одного раза.

4.2. С помощью приближённой формулы Пуассона найти вероятность того, что хотя бы в одном году из предстоящих 50-ти последовательных лет событие B произойдёт.

5. Орудие стреляет по цели до первого попадания, либо до израсходования боекомплекта, состоящего из пяти снарядов. Вероятность попадания с первого выстрела равна 0,4, со второго – 0,5, при всех последующих – 0,6. Пусть X – число произведённых выстрелов.

5.1. Составить таблицу распределения X.

5.2. Найти mX.

5.3. Найти P(X < mX).

6. Плотность вероятности случайной величины X задана формулой:

Найти

6.1. C.

6.2. F(x).

6.3. mX.

6.4. DX.

6.5. sX.

6.6. P(X > mX).

6.7. Me.

6.8. Построить графики f(x) и F(x).

7. Каким должно быть среднее квадратическое отклонение sX, чтобы параметр детали X отклонялся от номинала mX = 20 по модулю не более чем на 1 % номинала с вероятностью 0,95? Предполагается, что случайная величина X распределена нормально.

8. X, Y – индикаторы событий A, B, означающие положительные ответы соответственно на вопросы a, b социологической анкеты. По данным социологического опроса двумерная случайная величина (X, Y) имеет следующую таблицу распределения.

Y

X 0 1

0 p11 p12

1 p21 p22

Положительному ответу присвоен ранг 1, отрицательному – 0.

Здесь:

p11 = 0,3, p12 = 0,15, p21 = 0,05, p22 = 0,5.

Найти коэффициент корреляции rXY.

9. Двумерная случайная величина (X, Y) распределена равномерно в области D. D – криволинейный треугольник, ограниченный линиями y = x3, x = 1, y = 0.

9.1. Составить плотность вероятности fXY(x,y).

9.2. Найти fX(x), fY(y).

Вычислить:

9.3. mX, mY.

9.4. sX, sY;

9.5. rXY.

9.6. Выяснить, зависимы или нет X, Y.