Практическая работа по предмету: Основы научных исследований

 ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Методы обобщения результатов эксперимента. Теория подобия

Цель работы: изучить методы обработки экспериментальных данных методами теории подобия.

Задачи работы:

1.    Изучить основные положения теории подобия.

2.    Уяснить физически смыл основных критериев подобия.

3.    Научиться решать инженерные задачи с помощью теории подобия.

Теоретическая часть

Недостаток экспериментального метода состоит в ограниченном характере получаемой с его помощью информации. Она относится к той конкретной ситуации, в которой эксперимент проводился, и не может непосредственно использоваться там, где внешние условия уже изменились (изменились, например, пространственные или временные интервалы, характеризующие явление). При опытном исследовании каждое явление служит самостоятельным объектом экспериментов, что увеличивает их число и стоимость проведения. Эта особенность экспериментального подхода становится особенно неприятной при организации массовых опытов во время разработки новых технологий и машин, их реализующих.

Дополнение экспериментальных исследований аппаратом обобщения единичного опыта даёт средство решения многих практических задач, а служит этому, так называемая, теория подобия. Значение теории подобия состоит в том, что она сводит огромное многообразие ситуаций, встречающихся на практике, к небольшому числу стандартных схем, которые можно изучить детально раз и навсегда. Решая эту проблему, теория подобия соединяет в себе достоинства математики, исследующей в своих уравнениях целые классы схожих явлений, и экспериментального подхода с конкретностью его результатов.

           В теории подобия вводится понятие группы подобных между собою явлений. Группа объединяет те явления, на которые возможно распространение результатов единичного опыта. Два явления считаются подобными, если они описываются одинаковыми уравнениями и имеют схожие условия однозначности (характеристики формы, начальные, граничные условия и т.п.). 

Далее в оглавлении ---->

Множество факторов, определяющих протекание таких явлений, может быть свёрнуто в одну характеристику. Объясняется это тем, что влияние отдельных факторов проявляется не порознь, а совместно, и рассматривать их можно также не порознь, а объединяя в своеобразные комплексы. Эти комплексы играют далее роль новых (обобщенных) переменных. Сформулировав задачу в таких переменных можно исследовать уже не единичный случай, а группу подобных явлений.

           Упомянутые выше комплексы называют критериями (или числами) подобия. Критерии подобия имеют безразмерный характер, однако сохраняют определённый физический смысл. Обозначаются они обычно двумя первыми буквами фамилий учёных, внёсших наибольший вклад в развитие соответствующей отрасли знания.

           При использовании обобщенных переменных физическое подобие определяется следующим требованием: критерии подобия подобных явлений должны иметь одинаковые значения. Позволяет это рассматривать подобные процессы как один и тот же процесс, но взятый в различном масштабе.

           Многие критерии подобия содержат среди своих параметров определяющий размер. В качестве такового выбирается один из характерных для данного объекта размеров: толщина продукта, высота стенки, диаметр изделия, радиус кривизны трубы и т.п.

           Перейдём к рассмотрению наиболее характерных критериев подобия. Поскольку при исследовании и реализации пищевых производств основную роль играют процессы тепло- и массообмена, рассмотрим вначале критерии, характеризующие эти процессы.

           Критерий Фурье

где

 коэффициент температуропроводности в

 τ время в с;

характерный размер тела в м.

           Критерий Фурье содержит время, поэтому он появляется при исследовании нестационарных задач. Здесь он даёт возможность сопоставления во времени температурных и концентрационных полей и играет роль независимой переменной (обобщенного времени).

           Критерий Био

где α - коэффициент теплообмена между жидкостью и твёрдым телом (коэффициент теплоотдачи) в Вт/(м2 К); λ - коэффициент теплопроводности материала твердого тела в Вт/(м К); l - характерный размер тела в м.

           Этот критерий возникает в граничных условиях, описывающих теплообмен между жидкостью и твердым телом. Здесь он устанавливает связь между температурным полем в твёрдом теле и условиями теплооддачи на его поверхности. Однако, трактуют его и иначе: как меру отношения внутреннего для твёрдого тела (

) и внешнего (

) тепловых сопротивлений.

           Критерий Рейнольдса

где

 скорость движения жидкости в м / с;

 кинематическая вязкость жидкости в

м2 / с;

 характерный размер в м.

           Критерий Рейнольдса учитывает перемешивание частиц жидкости, обусловленное движением молекул. Он возник в гидродинамике и характеризует отношение сил инерции движущейся жидкости к силам вязкости.

           Течение жидкости может быть ламинарным или турбулентным. Оно может переходить из одного вида в другой, а по величине критерия Рейнольдса можно судить о характере течения. До значения

 называемого критическим значением критерия Рейнольдса, течение сохраняет устойчивый ламинарный характер. При более высоких значениях критерия

 течение может приобретать турбулентный характер, а начиная с

 турбулентность становится стабильной. Оба вида течения существенно отличаются друг от друга и подчиняются различным законам гидродинамики и теплопередачи. Поэтому при исследовании задач, связанных с обтеканием продукта жидкостью или газовой смесью, этот критерий необходимо учитывать и определять его численное значение в первую очередь.

Критерий Нуссельта

где

 коэффициент теплоотдачим в Вт / (

);

 коэффиициент теплопроводности жидкости в Вт / (м К);

 характерный размер в м.

           Этот критерий называют ещё критерием теплоотдачи. Он характеризует теплообмен на границе между твёрдым телом и жидкостью, а внешне напоминает критерий Био. Однако между критериями Био и Нуссельта есть большое различие. В критерий

 входит коэффициент теплопроводности твердого тела; критерий же

 содержит коэффициент теплопроводности жидкости. В критерии

 коэффициент теплопроводности является величиной заданной; в критерии

 это величина искомая.

Критерий Прандтля

где

 кинематическая вязкость жидкости в м2/с;

коэффициент теплопроводности в Вт / (

).

           Критерий

 сильно зависит от температуры. Как правило, при увеличении температуры он резко уменьшается.

           Существует значительное количество других критериев подобия. Каждый из них возникает в процессе преобразования математических моделей переноса, записанных в форме дифференциальных уравнений.   Размерности величин, составляющих критерии, подбираются так, чтобы результат получался безразмерным. Критерии от системы единиц уже не зависят и их легко сопоставлять.

 Например, два течения, имеющие одинаковые критерии Рейнолдса, считаются подобными. Но одно и то же значение

 может быть получено по-разному. Поэтому два течения, одно из которых имеет скорость в 6 раз большую, чем другое, будут подобны, если течение с большей скоростью реализуется в трубе, имеющей в 6 раз меньший диаметр. Другой случай подобия возникает, когда со скоростью в 6 раз большей течёт в 6 раз более вязкая жидкость. Это позволяет переносить результаты исследований, полученные для одних систем, на другие.

           Чтобы изучить, например, сопротивление трения в больших трубопроводах достаточно исследовать течение на малой лабораторной модели с применением другой жидкости. Вязкости и скорости следует подбирать соответствующим образом: в экспериментальной установке значение

 должно быть таким же, как в натурном исполнении. Это даёт возможность не только охватить в одном эксперименте множество случаев, но и переносить результаты исследования из одной области в другую.

Практическая часть

           Пример 1. Мармелад в форме пластины длиной

 м и шириной

 м охлаждается в продольно набегающем потоке воздуха (рис. 1). Скорость и температура набегающего потока соответственно равны:

 м/с,

 Температура поверхностей пластины

Рис. 1. Положение охлаждаемой пластины в набегающем потоке воздуха

           Определить коэффициент теплоотдачи

 и количество тепла, отдаваемого пластиной воздуху. Использовать критериальное уравнение

Физические параметры при температуре

 для воздуха имеют следующий вид:

(м 2 /c), 

 Вт/( м 2  K),

           Решение. Вычислим вначале величину критерия Рейнольдса:

           Из уравнения, связывающего критерий

 с критериями

 и

 находим, что

           Коэффициент теплоотдачи

 Вт /( м 2 K).

           Количество тепла, отдаваемого пластиной воздуху, вследствие малой её толщины, определим как тепло, отдаваемое только верхней и нижней её поверхностями, по формуле:

где Q - количество тепла, отдаваемого продуктом воздуху в единицу времени; S - суммарная площадь поверхностей пластины. Имеем окончательно

(Вт).

Задание 1 Мармелад в форме пластины длиной l и шириной d охлаждается в продольно набегающем потоке воздуха (рис. 1). Известны скорость v и температура t0 набегающего потока и температура поверхностей пластины tп.

Определить коэффициент теплоотдачи

 и количество тепла, отдаваемого пластиной воздуху. Использовать критериальное уравнение

Варианты для задания 1

Параметры охлаждающего воздуха для всех вариантов: температура

;

м2/c; 

 Вт/( м 2  K);

№ варианта

Длина пластины l, м

Ширина пластины d, м

Температура пластины tп, °С

Скорость охлаждающего воздуха v, м/с

Температура охлаждающего воздуха t0, °С

Пример 2. Опытным путём необходимо найти распределение температуры в колбасном изделии диаметром d=2 см через

 часа после загрузки изделия в камеру горячего копчения. Известно, что для этого вида колбасы коэффициент теплопроводности l = 0,31 Вт/(м

К), коэффициент температуропроводности

 м2 /с, коэффициент теплоотдачи

 Вт/ (

). Из-за трудностей экспериментального характера, связанных с определением температурного распределения в тонком продукте, было решено провести исследования на геометрически подобной колбасной модели. Модель состоит из сырых мелких опилок, заключённых в такую же оболочку, как и образец. Модель имеет следующие физические характеристики:

 Вт/ (м

К),

 м2/с,

 Вт / (

).

           Определить необходимый диаметр колбасной модели

 и промежуток времени

 по истечении которого после загрузки модели в коптильную камеру необходимо измерить внутри модели распределение температур.

           Решение. Подобие температурных полей возникает при одинаковых значениях критериев Био и Фурье. В качестве определяющего размера, фигурирующего в этих критериях, примем радиус цилиндра

.

            Для образца указанные критерии равны:

           Из условия

 находим диаметр модели:

 (м).

           Из условия

 находим искомый промежуток времени:

 (c).

           Отсюда следует, что диаметр модели составляет 15,4 см, а время выдержки

797 мин.

Задание 2 Опытным путём необходимо найти распределение температуры в колбасном изделии диаметром d через время τ после загрузки изделия в камеру горячего копчения. Для этого вида колбасного изделия известны коэффициент теплопроводности l, коэффициент температуропроводности a, коэффициент теплоотдачи a. Исследования провести  на геометрически подобной колбасной модели. Модель состоит из сырых мелких опилок, заключённых в такую же оболочку, как и образец. Для модели известны коэффициент теплопроводности l1, коэффициент температуропроводности a1, коэффициент теплоотдачи a1.