Практическая работа по предмету: Основы научных исследований

Практическая работа по предмету: Основы научных исследований

Задание в демо файле.

Также дублирую сюда для поиска:

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Построение эмпирических формул

Цель работы: изучить методы построения эмпирических формул.

Задачи работы:

1.    Изучить прием построения эмпирической формулы методом выбранных точек.

2.     Изучить метод построения эмпирических формул с использованием логарифмической и полулогарифмической шкал.

 Рассмотренный в предыдущей практической работе метод наименьших квадратов по сути своей является одним из методов построения эмпирических формул, т.е. аналитических зависимостей, описывающих результаты наблюдений. Задача построения эмпирической формулы возникает тогда, когда функциональная зависимость между переменными величинами уже известна и по результатам наблюдений необходимо определить постоянные величины в формуле, отражающей эту зависимость. Табличные данные обычно стремятся заменить наиболее простой формулой, однако уже это позволяет в дальнейшем использовать методы математического анализа.

           Удачный выбор аналитического выражения зависит от искусства исследователя. Общий вид формулы подсказывает иногда графическое расположение табличных данных. Совершенно ясно, однако, что определить тип формулы однозначно невозможно.

           Большой класс функций можно с достаточной точностью приближать многочленами. Но чем сложнее функция, тем выше должна быть степень аппроксимирующего многочлена. Коэффициенты в такой формуле теряют физический смысл, а сама она становится неудобной в использовании. В связи с этим часто применяются другие элементарные функции: логарифмическая, степенная, показательная, дробно-линейная и иные зависимости, достоинство которых состоит в их краткости. Именно такого рода зависимостями мы и будем заниматься в данном параграфе.

           Построить аналитическую зависимость по нескольким точкам обычно нетрудно. Однако, подавление „информационного шума”, вызванного ошибками наблюдений, требует большого числа экспериментальных данных. Этим и объясняется проблема выбора конкретной формулы. 

___

Далее задание в оглавлении ---->

Эмпирическая формула не может претендовать на глубокую обобщающую роль. Однако, в рамках рассматриваемого явления такая зависимость может быть весьма полезна.

Существует ряд приёмов нахождения эмпирических формул. Наиболее простой из них - метод построения линейной функции. Состоит он в следующем.

Пусть известны табличные значения  и   некоторой табличной функции. Если точки  располагаются на координатной плоскости Oxy примерно на прямой линии, то можно принять, что

(1)

где  

Наилучшее расположение прямой по отношению к системе точек  можно подобрать даже графически, используя прозрачную линейку. Параметры a и b определяются затем на основе измерения координат двух достаточно отдалённых друг от друга точек, принадлежащих этой прямой. Подставляя полученные координаты в (1), приходим к системе из двух линейных алгебраических уравнений, решение которой и даёт искомые параметры. Этот приём построения эмпирической формулы называется методом выбранных точек. Выбранные на прямой точки могут системе данных и не принадлежать. Важно, что бы сама прямая отвечала этой системе наилучшим образом.

Метод выбранных точек прост, но точность его невелика. Для повышения надежности результатов здесь также можно применять метод наименьших квадратов.

Часто точки   на одной прямой не лежат. Во многих случаях можно ввести тогда новые координаты  так, чтобы в новой координатной системе преобразованные точки  оказались близкими к прямой вида:

    (2)

Такое „перенесение” экспериментальных результатов на плоскости с одного места на другое реализуется путём изменения масштаба используемой шкалы.

Введение новой координатной системы в общем случае основано на преобразовании исходной равномерной шкалы Ox в новую шкалу OX согласно формуле:  где x и X - отвечающие друг другу значения переменной в исходной и новой координатных системах.

Если функция  линейна, то новая шкала OX также будет равномерной. Однако, если принять функцию  например, как  то преобразование  приводит уже к неравномерной шкале OX, которую называют логарифмической шкалой. Размещая эти шкалы на параллельных прямых (рис. 1), можно заметить, что прямая, к ним перпендикулярная, пересекает ось OX в точке  а ось Ox - в точке  

На таких преобразованиях шкал и основано построение большинства эмпирических формул. К виду (2) хорошо приводятся, например, показательная и степенная зависимости. 

Рис. 1 Равномерная (внизу) и логарифмическая (вверху) шкалы

Степенная зависимость имеет вид:

(3)

где  

Логарифмируя (3), имеем 

Применяя новые переменные

получим

(4)

где   

Итак, если точки  лежат в плоскости OXY на одной прямой, то можно использовать степенную зависимость (3). Для построения прямой (4) рекомендуют использовать логарифмическую бумагу. Коэффициенты A и B можно определять рассмотренным выше способом. Последующее обратное преобразование координат приводит к искомому уравнению (3).

В практике применяются как одинарная, так и двойная логарифмические шкалы. С их использованием строятся соответствующие координатные системы, образующие логарифмические сетки. Одинарная (или, как её ещё называют, полулогарифмическая) система координат на одной из осей содержит равномерную шкалу, на другой - логарифмическую. Двойная же логарифмическая координатная система имеет логарифмическую шкалу на обеих осях.

Примеры использования этих шкал представлены на рис. 2 и 3. Первый из них содержит график функции  представленный в двойной логарифмической системе, второй - график функции  в системе полулогарифмической. В каждом случае на графике мы имеем дело с прямой линией, хотя первая функция степенная, вторая - показательная. Преобразование функции  было реализовано по формулам (3), (4), а способ преобразования функции  будет рассматриваться далее.

Рис. 2. График функции  в двойной логарифмической шкале

Представленные примеры иллюстрируют общую тенденцию: двойные логарифмические шкалы применяются для преобразования степенных функций, полулогарифмические - показательных.

Рис. 3. График функции  в полулогарифмической шкале

Пример. При изучении зависимости влагосодержания капли сгущенного молока от времени в процессе распылительной сушки была получена следующая таблица результатов наблюдений. 

  0,6 0,7 0,9 1 1,4 2,3 3 3,6 5 6,4 8,3 10,4 20,5

  26,1 25,9 25,1 22,4 19,5 14,1 12,4 11,8 9,8 7,9 7 6,3 4,2

Здесь τ - время сушки (сек), влагосодержание капли молока (кг влаги/кг сухого вещества). Найти эмпирическую формулу, описывающую полученные результаты:

 W= a∙τb.

Решение. 

Строим диаграмму с данными по табличным данным.

Рис.1 – Исходные данные.

На полученной диаграмме меняем параметры осей: W и τ. Нужно выбрать в формате оси (правая кнопка мыши по оси на диаграмме) логарифмическую шкалу.

После преобразования получаем данные в виде двойной логарифмической шкалы (рис.2).

 Рис.2 – Исходные данные в двойной логарифмической шкале

В двойной логарифмической шкале результаты наблюдений можно считать близкими к прямой линии. Используя метод выбранных точек, наносим отрезок AB на точки исходных данных. Отрезок должен максимально приближен к точкам исходным данных. Для удобства будем использовать начальные (точка А) и конечные координаты (точка B) диапазона начальных данных: A (0,6; 26,1); B (20,5; 4,2). Наносим отрезок на диаграмму с исходными данными – рис. 3. На рисунке 3.а отрезок АВ располагается ниже исходных данных. Нужно корректировать координаты точек А или В. Целесообразно изменить координату Y для точки А. После корректировки отрезок максимально приближен к исходным данным рис. 3.б, новые координаты отрезка: A (0,6; 30,0); B (20,5; 4,2).

Рис.3.а - До корректировки Рис.3.б - После корректировки.

Рис. 3 – Исходные данные в двойной логарифмической шкале и отрезок AB

Для нахождения коэффициентов в формуле (3) на основе выражения , используя координаты полученного отрезка A (0,6; 30,0); B (20,5; 4,2), составим систему из двух уравнений: 

Решая систему уравнений, находим значения: a=22,542; b= -0,557. Подставляем данные значения в общее уравнение степенной функции W= a∙τb, которая свойственна для эмпирических формул, полученных с помощью двойных логарифмических шкал. 

Формула (3) записывается теперь как W= 22,542∙τ-0,557

Строим расчетную кривую по полученной формуле, используя данные τ из условия задачи (рис.4)

Рис. 4 – Исходные и расчетные значения.

Задание. При изучении зависимости влагосодержания капли сгущенного молока от времени в процессе распылительной сушки была получена следующая таблица результатов наблюдений. Здесь τ - время сушки (сек), влагосодержание капли молока (кг влаги/кг сухого вещества). Найти эмпирическую формулу, описывающую полученные результаты. Построить графики изменения влажности W от времени τ по исходным данным и по полученной эмпирической формуле.