Если функция f(x, y) в точке (x₀, y₀) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные … порядка равны нулю f'x(x₀, y₀) = 0, f'y(x₀, y₀) = 0, либо хотя бы одна из них не существует

Элементы высшей математики /Тема 7-12 / Новые правильные ответы / Синергия / МОИ / МТИ / МосАП

УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Тема 7. Теория рядов

Тема 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Матрицы и определители

Тема 10. Системы линейных уравнений

Тема 11. Векторы и действия с ними

Тема 12. Аналитическая геометрия на плоскости

Заключение

Итоговая аттестация

Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением …

F(x) - C

F(x) + 2C

F(x) + C

Функция f(x,y,...), непрерывная в замкнутой ограниченной области D, ограничена в этой области, если существует такое число K, что для всех точек области верно неравенство …

f(x,y,…)|=K

f(x,y,…)|<K

|f(x,y,…)|>K

Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxΔxi⟶ … произвольном выборе точек εi интегральная сумма <...> стремится к пределу Ѕ, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b]

0

1

-1

Признак …— это признак сходимости рядов, который предполагает нахождение предела отношения некоторого ряда к предыдущему члену того же ряда

Решениями системы <...> являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в …

Однородная система всегда … , т.к. всегда имеет нулевое решение

совместна

несовместна

положительна

Функция f(x) называется бесконечно ... при x⟶a, где a может быть числом или одной из величин ∞, +∞ или -∞, если lim f(x) = 0, x⟶a

Число A называется пределом функции f(х) при x⟶a, если для любого ε >0 существует такое число Δ > …, что для всех x таких, что 0 < |х - а| < Δ, верно неравенство |f(x) - A| < ε

1

0

-1

Дано: ∫ Xdx / (X² − 5). Найти интегралы.

1/2 ⋅ ln|X² − 5| + C.

2ln|X + 5||X − 5| + C.

1/2 ⋅ ln|X²| + C.

Всякая целая рациональная функция f(x) имеет, по крайней мере, … корень, действительный или комплексный

Дано: (1+i)⁵ / (1−i)³. Вычислить.

4

2

6

Дано: ∫_1^2 dx ∫_x^2x f(X, Y)dy. Изменить порядок интегрирования.

∫_1^2 dy ∫_1^y f(x, y)dx + ∫_2^4 dy ∫_y/2^2 f(x, y)dx.

∫_1^2 dy ∫_1^y f(x, y)dx + ∫_y/2^2 dy ∫_y/2^2 f(x, y)dx.

∫_1^2 dx ∫_1^y/2 f(x, y)dx + ∫_2^4 dy ∫_y/2^2 f(x, y)dx.

Дано: 2x-3y-4=0 и 3x-5y-10=0. Найти точку пересечения прямых.

M(-10, -8).

M(8, -10).

M(-6, -2).

Дано: a = i + 3j, b = 2i − 2j. Найти угол между векторами.

arccos(−1/√5).

cos(6/√13).

arccos(π/5).

Дано: lim (X²−1) / (2X²−X−1), X⟶∞. Найти пределы.

1/2.

3/4.

2/4.

Дано: X² − 2X +10 = 0. Решите уравнение.

4±i; −4±i.

1±3i.

5±i.

Дано: y = 7 / X². Вычислить производную.

−14/X³.

21/X³.

X³/7.

Дано: y"-6y'+9y'=xe^3x. Решить дифференциальные уравнения.

y_част = x²(Ax + B)e^3x.

y_част = y²(A + Bx)e^3x.

y_част = x²(A − B)e^3x.

Дано: Z=2X² − XY + 3Y³. Найти дифференциалы.

(4X-Y)dx+(9Y² − X)dy.

(2X-Y)dx+(3Y² − X)dy.

(4X-Y)dx+(9Y − X)dy.

Дифференциальное уравнение n-го порядка называется F(x, y, y', …, y^(n)) = 0 называется …, если выражение, стоящее в левой части, является линейной функцией от y, y', …, y^(n), т.е. если это уравнение имеет вид …

Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен ...

Дано: |(1, i), (i, 1)|. Вычислить определитель матриц.

2

4

-4

Если уравнение имеет вид P(x) = … , где P(x) — многочлен степени n, то это уравнение называется алгебраическим уравнением степени n

0

1

-1

Если функция f(x, y) в точке (x₀, y₀) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные … порядка равны нулю f'x(x₀, y₀) = 0, f'y(x₀, y₀) = 0, либо хотя бы одна из них не существует

Если функция f(x, y) ограничена в замкнутой области Δ и непрерывна в ней всюду, кроме … числа кусочно-гладких линий, то двойной интеграл ∫∫ f(x, y)dΔ существует

Дано: ∫ dx / (X² − 5). Найти интегралы.

1/2√5 ⋅ ln|(X−√5)/(X+√5)|

1/2√5 ⋅ ln|(X−√5)/(X−√5)|

2√5 ⋅ ln|(X−√5)/(X+√5)|

Исследовать сходимость следующих рядов: ∑ (4n − 3) / √(n * 3^n), n=1..∞

Сходится

Расходится

Одновременно сходится и расходится

Комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно … и мнимая части комплексного числа.

Матрицу B называют … матрицей A, а переход от A к B транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В

Метод … интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием

На плоскости даны векторы: a=i+3j, b=2i-2j, c=2i-4j. Разложить вектор C по векторам a и b.

c=(5b-2a)/4.

c=(5b+4a)/3.

c=(4b-2a)/5.

… m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

<...>

Перестановка уравнений местами относится к … преобразованиям

Преподаватель попросил студента написать уравнение перпендикуляра к прямой 4x-3y+6=0, проходящего через точку M(2;1). Что должен ответить студент?

3x+4y-10=0.

3y+4x-5=0.

4x+3y=0.

Прямая, проходящая через точку N₀ перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности, — это … к поверхности в точке N0

Система из n уравнений с n неизвестными <...> в случае, если определитель матрицы системы не равен …, имеет единственное решение

1

-1

0

Сумма всех первообразных функции – это …

Трёхмерная система координат, в которой каждая точка пространства определяется тремя числами (r — расстояние до начала координат (радиальное расстояние) θ — зенитный угол; φ — азимутальный угол — это … система координат

Функция f(x) называется ... вблизи точки x = a, если существует такое число М>0, что | f(x) | <М вблизи точки x = a

… дополнением минора матрицы называется его дополнительный минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы

Возрастающие и убывающие последовательности называются строго ...

Дано: ∫_0^2 dy ∫_0^1 (X² + 2Y)dx. Вычислить интегралы.

4 2/3.

2 2/3.

2/3.

Дано: lim (X²−1) / (2X²−X−1), X⟶2. Найти пределы.

3/5.

6/7.

1/5.

Дано: |(5, 2, 3), (4, 3, 2), (2, 3, 1)|. Вычислить определители матриц.

3

12

8

Дано: Z = 2^xy. Найти дифференциалы.

2^xy ln2(YdX + Xdy).

2^xy ln4(YdX + Xdy).

2^xy ln2(YdX − Xdy).

Прибавление к элементам одной строки элементов другой строки относится к … преобразованиям матрицы

Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением …

F(x) - C

F(x) + 2C

F(x) + C

Функция f(x,y,...), непрерывная в замкнутой ограниченной области D, ограничена в этой области, если существует такое число K, что для всех точек области верно неравенство …

f(x,y,…)|=K

f(x,y,…)|<K

|f(x,y,…)|>K

Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxΔxi⟶ … произвольном выборе точек εi интегральная сумма <...> стремится к пределу Ѕ, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b]

0

1

-1

Признак …— это признак сходимости рядов, который предполагает нахождение предела отношения некоторого ряда к предыдущему члену того же ряда

Решениями системы <...> являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в …

Однородная система всегда … , т.к. всегда имеет нулевое решение

совместна

несовместна

положительна

Функция f(x) называется бесконечно ... при x⟶a, где a может быть числом или одной из величин ∞, +∞ или -∞, если lim f(x) = 0, x⟶a

Число A называется пределом функции f(х) при x⟶a, если для любого ε >0 существует такое число Δ > …, что для всех x таких, что 0 < |х - а| < Δ, верно неравенство |f(x) - A| < ε

1

0

-1

Дано: ∫ Xdx / (X² − 5). Найти интегралы.

1/2 ⋅ ln|X² − 5| + C.

2ln|X + 5||X − 5| + C.

1/2 ⋅ ln|X²| + C.

Всякая целая рациональная функция f(x) имеет, по крайней мере, … корень, действительный или комплексный

Дано: (1+i)⁵ / (1−i)³. Вычислить.

4

2

6

Дано: ∫_1^2 dx ∫_x^2x f(X, Y)dy. Изменить порядок интегрирования.

∫_1^2 dy ∫_1^y f(x, y)dx + ∫_2^4 dy ∫_y/2^2 f(x, y)dx.

∫_1^2 dy ∫_1^y f(x, y)dx + ∫_y/2^2 dy ∫_y/2^2 f(x, y)dx.

∫_1^2 dx ∫_1^y/2 f(x, y)dx + ∫_2^4 dy ∫_y/2^2 f(x, y)dx.

Дано: 2x-3y-4=0 и 3x-5y-10=0. Найти точку пересечения прямых.

M(-10, -8).

M(8, -10).

M(-6, -2).

Дано: a = i + 3j, b = 2i − 2j. Найти угол между векторами.

arccos(−1/√5).

cos(6/√13).

arccos(π/5).

Дано: lim (X²−1) / (2X²−X−1), X⟶∞. Найти пределы.

1/2.

3/4.

2/4.

Дано: X² − 2X +10 = 0. Решите уравнение.

4±i; −4±i.

1±3i.

5±i.

Дано: y = 7 / X². Вычислить производную.

−14/X³.

21/X³.

X³/7.

Дано: y"-6y'+9y'=xe^3x. Решить дифференциальные уравнения.

y_част = x²(Ax + B)e^3x.

y_част = y²(A + Bx)e^3x.

y_част = x²(A − B)e^3x.

Дано: Z=2X² − XY + 3Y³. Найти дифференциалы.

(4X-Y)dx+(9Y² − X)dy.

(2X-Y)dx+(3Y² − X)dy.

(4X-Y)dx+(9Y − X)dy.

Дифференциальное уравнение n-го порядка называется F(x, y, y', …, y^(n)) = 0 называется …, если выражение, стоящее в левой части, является линейной функцией от y, y', …, y^(n), т.е. если это уравнение имеет вид …

Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен ...

Дано: |(1, i), (i, 1)|. Вычислить определитель матриц.

2

4

-4

Если уравнение имеет вид P(x) = … , где P(x) — многочлен степени n, то это уравнение называется алгебраическим уравнением степени n

0

1

-1

Если функция f(x, y) в точке (x₀, y₀) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные … порядка равны нулю f'x(x₀, y₀) = 0, f'y(x₀, y₀) = 0, либо хотя бы одна из них не существует

Если функция f(x, y) ограничена в замкнутой области Δ и непрерывна в ней всюду, кроме … числа кусочно-гладких линий, то двойной интеграл ∫∫ f(x, y)dΔ существует

Дано: ∫ dx / (X² − 5). Найти интегралы.

1/2√5 ⋅ ln|(X−√5)/(X+√5)|

1/2√5 ⋅ ln|(X−√5)/(X−√5)|

2√5 ⋅ ln|(X−√5)/(X+√5)|

Исследовать сходимость следующих рядов: ∑ (4n − 3) / √(n * 3^n), n=1..∞

Сходится

Расходится

Одновременно сходится и расходится

Комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно … и мнимая части комплексного числа.

Матрицу B называют … матрицей A, а переход от A к B транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В

Метод … интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием

На плоскости даны векторы: a=i+3j, b=2i-2j, c=2i-4j. Разложить вектор C по векторам a и b.

c=(5b-2a)/4.

c=(5b+4a)/3.

c=(4b-2a)/5.

… m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

<...>

Перестановка уравнений местами относится к … преобразованиям

Преподаватель попросил студента написать уравнение перпендикуляра к прямой 4x-3y+6=0, проходящего через точку M(2;1). Что должен ответить студент?

3x+4y-10=0.

3y+4x-5=0.

4x+3y=0.

Прямая, проходящая через точку N₀ перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности, — это … к поверхности в точке N0

Система из n уравнений с n неизвестными <...> в случае, если определитель матрицы системы не равен …, имеет единственное решение

1

-1

0

Сумма всех первообразных функции – это …

Трёхмерная система координат, в которой каждая точка пространства определяется тремя числами (r — расстояние до начала координат (радиальное расстояние) θ — зенитный угол; φ — азимутальный угол — это … система координат

Функция f(x) называется ... вблизи точки x = a, если существует такое число М>0, что | f(x) | <М вблизи точки x = a

… дополнением минора матрицы называется его дополнительный минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы

Возрастающие и убывающие последовательности называются строго ...

Дано: ∫_0^2 dy ∫_0^1 (X² + 2Y)dx. Вычислить интегралы.

4 2/3.

2 2/3.

2/3.

Дано: lim (X²−1) / (2X²−X−1), X⟶2. Найти пределы.

3/5.

6/7.

1/5.

Дано: |(5, 2, 3), (4, 3, 2), (2, 3, 1)|. Вычислить определители матриц.

3

12

8

Дано: Z = 2^xy. Найти дифференциалы.

2^xy ln2(YdX + Xdy).

2^xy ln4(YdX + Xdy).

2^xy ln2(YdX − Xdy).

Прибавление к элементам одной строки элементов другой строки относится к … преобразованиям матрицы