МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (52 билета), 1 курс (Эк Ф) 2 семестр 2024г

Билет № 1. 

Числовая последовательность и ее предел 

Числовая последовательность - это функция, определенная на натуральном ряде чисел (N). Обозначается она обычно буквой с индексом, например, *an}, где n - номер члена последовательности. 

Предел последовательности: 

Определение: Число b называется пределом последовательности *an}, если для любого произвольного положительного числа ε > 0 существует такое натуральное число N, что для всех n > N выполняется неравенство ∣an−b∣<ε. 

Свойства:  

o Если последовательность имеет предел, то он единствен. 

o Если предел последовательности равен b, то это записывается как lim(n -> ∞) an = b. 

o Существуют различные виды сходимости последовательностей:  

Сходимость к конечному пределу: lim(n -> ∞) an = b, где b - конечное число. 

Сходимость к бесконечности: lim(n -> ∞) an = +∞ (сходимость к плюс бесконечности) или lim(n -> ∞) an = - ∞ (сходимость к минус бесконечности). 

Расходимость: последовательность не имеет ни конечного, ни бесконечного предела. 

Примеры:  

o Последовательность *1/n+ сходится к пределу 0: lim(n -> ∞) 1/n = 0. 

o Последовательность *n+ расходится. 

o Последовательность *(−1)n+ не имеет предела, так как она колеблется между -1 и 1.