МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (52 билета), 1 курс (Эк Ф) 2 семестр 2024г

Билет № 1.

Числовая последовательность и ее предел

Числовая последовательность - это функция, определенная на натуральном ряде чисел (N). Обозначается она обычно буквой с индексом, например, *an}, где n - номер члена последовательности.

Предел последовательности:

Определение: Число b называется пределом последовательности *an}, если для любого произвольного положительного числа ε > 0 существует такое натуральное число N, что для всех n > N выполняется неравенство ∣an−b∣<ε.

Свойства:

o Если последовательность имеет предел, то он единствен.

o Если предел последовательности равен b, то это записывается как lim(n -> ∞) an = b.

o Существуют различные виды сходимости последовательностей:

Сходимость к конечному пределу: lim(n -> ∞) an = b, где b - конечное число.

Сходимость к бесконечности: lim(n -> ∞) an = +∞ (сходимость к плюс бесконечности) или lim(n -> ∞) an = - ∞ (сходимость к минус бесконечности).

Расходимость: последовательность не имеет ни конечного, ни бесконечного предела.

Примеры:

o Последовательность *1/n+ сходится к пределу 0: lim(n -> ∞) 1/n = 0.

o Последовательность *n+ расходится.

o Последовательность *(−1)n+ не имеет предела, так как она колеблется между -1 и 1.