💯 Алгебра и геометрия.ти (ответы на тест Синергия / МТИ / МосАП, сентбярь 2022)

Линейная алгебра и геометрия > Алгебра и геометрия

• правильные ответы на 58 вопросов из теста по данной дисциплине
• результат 100 баллов из 100
• вопросы отсортированы в лексикографическом порядке

Алгебра и геометрия.ти

1. Учебные материалы

Векторы a и b взаимно перпендикулярны (ортогональны), причем│a│= 5 и│b│= 12. Определите│a + b│

Тип ответа: Одиночный выбор

• 13
• 17
• 7
• 8,5

Векторы AC = a и BD = b служат диагоналями параллелограмма ABCD. Выразите вектор CD через векторы a и b

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) CD = (b - a) / 2
• 2) CD = (a + b) / 2
• 3) CD = (a - b) / 2

Векторы AC = a и BD = b служат диагоналями параллелограмма ABCD. Выразите вектор DA через векторы a и b

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) DA = -(a + b) / 2
• 2) DA = (a + b) / 2
• 3) DA = (a - b) / 2

Вычислите определитель│(-5, 2, 1), (3, 4, 0), (2, -1, 3)│

Тип ответа: Одиночный выбор

• -89
• -53
• 89
• 102

Вычислите определитель│(1, 3, -2), (5, 1, 4), (3, 2, 1)│

Тип ответа: Одиночный выбор

• 0
• -42
• 1
• 56

Вычислите определитель│(2, 3, -3, 4), (2, 1, -1, 2), (6, 2, 1, 0), (2, 3, 0, -5)│

Тип ответа: Одиночный выбор

• 48
• 24
• 0
• 12

Вычислите определитель│(3, -1, 4, 2), (5, 2, 0, 1), (0, 2, 1, -3), (6, -2, 9, 8)│

Тип ответа: Одиночный выбор

• 223
• 23
• 111
• 203

Дано:│a₁│= 3,│a₂│ = 4, (a₁,᷍  a₂) = 2π/3. Вычислите (a₁ + a₂)²

Тип ответа: Одиночный выбор

• 13
• 12
• 11
• 144

Дано:│a₁│= 3,│a₂│= 5. Определите, при каком значении α векторы (a₁ + αa₂) и (a₁ - αa₂) будут перпендикулярны

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) ±0,6
• 2) 3,5
• 3) 0,5
• 4) -0,5

Даны векторы MK = (9; 1), FE = (2; 6), CB = (3; 1), LP = (9; 3). Какие из этих векторов коллинеарны? 

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) CB и LP
• 2) MK и FE
• 3) FE и LP
• 4) MK и CB

Даны вершины треугольника A(2;5); B(-3;1); C(4;-2). Найдите уравнение высоты треугольника, опущенной из вершины A

Тип ответа: Одиночный выбор

• 7x-3y+1=0
• x-3y+1=0
• 7x-y+1=0
• 7x-3y+11=0

Даны прямые (x + 2) / 2 = y / -3 = (z - 1) / 4 и (x - 3) / α = (y - 1) / 4 = (z - 7) / 2. При каком значении α они перпендикулярны? 

Тип ответа: Одиночный выбор

• α = 2
• α = 4
• α = 1
• α = -2

Как называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой?

Тип ответа: Одиночный выбор

• параболой
• гиперболой
• эллипсом
• окружностью

Как называется геометрическое место точек, разность расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная?

Тип ответа: Одиночный выбор

• гиперболой
• эллипсом
• окружностью
• параболой

Как называется геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная?

Тип ответа: Одиночный выбор

• эллипсом
• окружностью
• гиперболой
• параболой

Какие векторы называются коллинеарными?

Тип ответа: Одиночный выбор

• лежащие на одной прямой или параллельных прямых
• только лежащие на одной прямой
• лежащие на перпендикулярных прямых

Какие величины называются скалярными?

Тип ответа: Одиночный выбор

• которые характеризуются одним числовым значением
• которые частично характеризуются своим численным значением
• которые характеризуются своим направлением

Какой из перечисленных векторов коллинеарен вектору AB = (4; -8)?

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) CD = (2/3; -4/3)
• 2) EF = (3/2; -3/4)
• 3) LN = (3/2; -2/3)
• 4) MK = (2/3; -3/2)

Какой можно сделать вывод, если при решении системы методом Гаусса в расширенной матрице получилась последняя строка вида (0 0 0 c | m), c ≠ 0, m ≠ 0?

Тип ответа: Одиночный выбор

• система уравнений имеет единственное решение
• система уравнений не имеет ни одного решения
• система уравнений имеет бесконечно много решений
• нельзя найти решение системы уравнений

Метод Гаусса решения системы линейных уравнений предполагает использование

Тип ответа: Одиночный выбор

• последовательного исключения неизвестных
• формул Крамера
• замены переменных
• алгебраического сложения

Найдите 3A² + B, где A = ((1, 0), (2, 1)); B = ((3, 2), (-1, 0))

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) ((6, 2), (11, 3))
• 2) ((4, 2), (3, 1))
• 3) ((-6, -2), (11, 3))
• 4) ((4, -2), (-3, 1))

Найдите координаты точки пересечения прямых 2x-y-3=0 и 4x+3y-11=0

Тип ответа: Одиночный выбор

• (2; 1)
• (2; 2)
• (1; 2)
• (1; 3)

Найдите координаты точки K пересечения прямой (x - 1) / 2 = (y - 2) / 3 = (x - 3) / 4 с плоскостью 2x + 5y - 3z = 0

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) K(1/7; 5/7; 9/7)
• 2) K(2/7; 5/7; 9/7)
• 3) K(1/7; 5/7; 3/7)
• 4) K(1/7; 2/7; 9/7)

Найдите координаты точки Q, симметричной точке P(3;-4;-6) относительно плоскости, проходящей через точки M1(-6;1;-5), M2(7;-2;-1) и M3(10;-7;1).

Тип ответа: Одиночный выбор

• Q(1;-2;2)
• Q(-1;-2;2)
• Q(1;-2;-2)
• Q(1;2;2)

Найдите координаты точки Q, симметричной точке P(3;1;-1) относительно плоскости, проходящей через точки M1(1;0;2), M2(0;1;-1), M1(2;1;0).

Тип ответа: Одиночный выбор

• Q(2,8;2;-0,6)
• Q(-2;1;3)
• Q(1,8;-2;0,6)

Найдите обратную матрицу для матрицы ((2, 5, 7), (6, 3, 4), (5, -2, -3))

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) ((1, -1, 1), (-38, 41, -34), (27, -29, 24))
• 2) ((1, -1, 1), (-38, 41, 34), (27, 29, 24))
• 3) ((1, 1, 1), (-38, 41, 34), (27, -29, 24))
• 4) ((1, -1, 1), (38, 41, 34), (27, -29, 24))

Найдите обратную матрицу для матрицы ((3, -4, 5), (2, 3, 1), (3, -5, -1))

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) 1/109 ⋅ ((-2, 29, 19), (-5, 18, -7), (19, -3, -17))
• 2) 1/109 ⋅ ((-2, -29, -11), (5, 18, -7), (19, -3, 17))
• 3) 1/109 ⋅ ((2, 29, -19), (-5, 18, -7), (19, -3, 17))
• 4) 1/109 ⋅ ((2, -29, -11), (-5, 18, -7), (17, -3, -19))

Найдите обратную матрицу для матрицы A = ((2, 2, 3), (1, -1, 0), -1, 2, 1))

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) A⁻¹ = ((1, -4, -3), (1, -5, -3), (-1, 6, 4))
• 2) A⁻¹ = ((1, -2, 7), (0, 1, -2), (0, 0, 1))
• 3) A⁻¹ = ((1, 4, 3), (1, -5, 3), (1, 6, -4))
• 4) A⁻¹ = ((-3, 1, -4), (-3, 1, -5), (4, -1, 4))

Найдите общее решение системы {9x₁ - 3x₂ + 5x₃ + 6x₄ = 4; 6x₁ - 2x₂ + 3x₃ + 4x₄ = 5; 3x₁ - x₂ + 3x₃ + 14x₄ = -8

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) {x₁ = c; x₂ = 3c - 13; x₃ = -7; x₄ = 0
• 2) {x₁ = 1 - c; x₂ = 13 + c; x₃ = -7; x₄ = 0
• 3) {x₁ = c; x₂ = 13 + c; x₃ = -7; x₄ = 1
• 4) {x₁ = c; x₂ = 11 + c; x₃ = -7; x₄ = 0

Найдите ранг матрицы ((-1, 3, 3, -4), (4, -7, -2, 1), (-3, 5, 1, 0), (-2, 3, 0, 1))

Тип ответа: Одиночный выбор

• 2
• 1
• 3
• 4

Найдите ранг матрицы ((0, 1, 0,1 4, 3, 1), (0, 1, 3, 2, 2, 1), (2, 1, 0, 0, 1, 1), (-1, 2, -1, -1, -1, -1))

Тип ответа: Одиночный выбор

• 4
• 3
• 2
• 1

Найдите ранг матрицы ((1, 3, -1, 6), (7, 1, -3, 10), (17, 1, -7, 22), (3, 4, -2, 10))

Тип ответа: Одиночный выбор

• 2
• 1
• 3
• 4

Найдите AB - BA, где A = ((2, 3, 1), (-1, 1, 0), (1, 2, -1)); B = ((1, 2, 1), (0, 1, 2), (3, 1, 1))

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) ((4, 1, 9), (-2, -6, 3), (-8, -9, 2))
• 2) ((4, 1, 9), (2, -6, 3), (-8, -9, 2))
• 3) ((4, 1, 9), (-2, 6, 3), (-8, -9, 2))
• 4) ((4, 1, 9), (-2, -6, 3), (-8, 9, 2))

Напишите уравнение эллипса, если даны его полуоси a = 5 и b = 4 

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) x² / 25 + y² / 16 = 1
• 2) x² / 5 + y² / 2 = 1
• 3) x² / 15 - y² / 8 = 1

Определите уравнение прямой, отсекающей на оси Oy отрезок b = 4 и составляющей с осью Ox угол φ = 45°

Тип ответа: Одиночный выбор

• y = x + 4
• y = x-4
• y = 4x + 1
• y = 4x-1

По какой формуле вычисляется расстояние от точки до плоскости, заданной общим уравнением? 

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) d = │Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D│/ √(A² + B² + C²)
• 2) d = │Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D│
• 3) d = √(A² + B² + C²)

При каком значении y векторы AM и BN перпендикулярны, если A(-3; -2), B(1; 4), M(-5; 3), N(2; y)? 

Тип ответа: Одиночный выбор

• 4,4
• 4
• 4,8
• 4,5

Решите матричное уравнение ((3, -1), (5, -2)) X ((5, 6), (7, 8)) = ((14, 16), (9, 10))

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) ((1, 2), (3, 4))
• 2) ((1, 2), (3, -4))
• 3) ((-1, 2), (3, 4))
• 4) ((1, 2), (-3, 4))

Решите матричное уравнение AX + AXA = B, где A = ((1, 2), (0, 3)); B = ((4, 8), (6, 6))

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) ((0, 1), (1, 0))
• 2) ((0, 1), (-1, 0))
• 3) ((0, -1), (1, 0))
• 4) ((0, 1), (1, 1))

Решите систему уравнений методом Крамера {2x - 4y + 3z = 1; x - 2y + 4z = 3; 3x - y + 5z = 2

Тип ответа: Одиночный выбор

• {(-1;0;1)}
• {(1;0;1)}
• {(1;0;-1)}
• {(-1;0;-1)}

Составьте канонические уравнения прямой, проходящей через точки с координатами (5; -1; 4) и (2; 0; -3)

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) (x - 5) / -3 = (y + 1) / 1 = (z - 4) / -7
• 2) (x - 5) / 3 = (y + 1) / -1 = (z - 4) / 7
• 3) (x + 5) / 3 = (y + 1) / 1 = (z - 4) / 7
• 4) (x + 5) / -3 = (y - 1) / 1 = (z + 4) / -7

Составьте уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые (x - 2) / 3 = (y + 1) / 2 = (z - 3) / -2 и (x - 1) / 3 = (y - 2) / 2 = (z + 3) / -2

Тип ответа: Одиночный выбор

• 6x - 20y - 11z + 1 = 0
• 6x + 20y - 11z + 1 = 0
• 6x - 20y - 11z = 0
• x - 20y - 10z + 1 = 0

Составьте уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые (x - 5) / 13 = (y - 6) / 1 = (z + 3) / -4 и (x - 2) / 13 = (y - 3) / 1 = (z + 3) / -4

Тип ответа: Одиночный выбор

• x+y-3z+10=0
• x-y+3z+10=0
• -x-y+3z-10=0
• -x+y+3z+10=0

Укажите каноническое уравнение окружности 

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) x² + y² = R²
• 2) x² - y² = R²
• 3) x + y = R²
• 4) x - y = R²

Укажите каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно OY 

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) x² = 2py
• 2) y² = 2px
• 3) x² / a² - y² / b² = 1
• 4) x² = 4py

Укажите каноническое уравнение эллипса, большая полуось которого a = 6, а эксцентриситет ε = 0,5 

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) x² / 36 + y² / 27 = 1
• 2) x² / 36 - y² / 27 = 1
• 3) x² / 6 + y² / 3 = 1
• 4) x² / 27 + y² / 36 = 1

Укажите каноническое уравнение эллипса, расстояние между фокусами которого равно 8, а малая полуось b = 3 

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) x² / 25 + y² / 9 = 1
• 2) x² / 25 - y² / 9 = 1
• 3) x² / 5 + y² / 3 = 1
• 4) x² / 9 + y² / 25 = 1

Укажите общее уравнение плоскости, которая параллельна плоскости xOy

Тип ответа: Одиночный выбор

• Cz + D = 0
• By + D = 0
• Ax + D = 0
• Ax + By = 0
• Ax + Cz = 0

Укажите общее уравнение плоскости, проходящей через начало координат

Тип ответа: Одиночный выбор

• Ax + By + Cz = 0
• By + Cz + D = 0
• Ax + Cz + D = 0
• Ax + By + D = 0

Укажите уравнение окружности, для которой точки А(3; 2) и B(-1;6) являются концами одного из диаметров 

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) (x - 1)² + (y - 4)² = 8
• 2) (x - 1)² - (y + 4)² = 8
• 3) (x - 1)² - (y + 4)² = 64
• 4) (x - 1)² + (y - 4)² = 16

Укажите уравнение окружности, которая проходит через точку А(2; 6) и ее центр совпадает с точкой C(-1;2) 

Тип ответа: Одиночный выбор

• (x + 1)² + (y - 2)² = 25
• (x - 1)² - (y + 2)² = 25
• (x - 1)² - (y + 2)² = 5
• (x + 1)² + (y - 2)² = 36

Укажите уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой С(1;-1), а прямая 5x-12y+9=0 является касательной к окружности

Тип ответа: Одиночный выбор

• (x-1)2+(y+1)2=4
• (x-1)2-(y+1)2=4
• (x-1)2-(y+1)2=16
• (x-1)2+(y-1)2=16

Укажите уравнение параболы с вершиной в точке O и фокусом F(4; 0)

Тип ответа: Одиночный выбор

• y2=4x
• y2=8x
• x2=16y
• y2=16x

Укажите формулу расстояния d между двумя точками на плоскости, если они заданы своими координатами: A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂)

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
• 2) d = √((x₂ + x₁)² - (y₂ + y₁)²)
• 3) d = √((x₂ - x₁)² - (y₂ - y₁)²)

Укажите формулу расстояния d от точки M0(x0,y0) до прямой, заданной общим уравнением Ax + By + C = 0 

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) d = │Ax₀ + By₀ + C│/ √(A² + B²)
• 2) d = │A + B + C│/ √(A² + B²)
• 3) d = │Ax₀ + By₀ + C│/ √(A² - B²)

Уравнение 3х - 5у - 15 = 0 преобразуйте к уравнению в отрезках 

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) x / 5 - y / 3 = 1
• 2) x / -5 + y / 3 = 1
• 3) -x / 5 + y / 3 = 1
• 4) -x / 5 + y / 3 = 1

Что называется декартовой прямоугольной системой координат на плоскости (в пространстве)?

Тип ответа: Одиночный выбор

• две (три) взаимно перпендикулярные оси с общим началом
• система координат, ставящая в соответствие каждой точке на плоскости пару чисел
• система координат, состоящая из полюса, экваториальной плоскости и полярной оси, лежащей в ней

Что называется скалярным произведением двух векторов? 

Тип ответа: Одиночный выбор

• 1) число, определяемое по формуле a ⋅ b = |a| ⋅ |b| ⋅ cosφ
• 2) число, определяемое по формуле a ⋅ b = |a| ⋅ |b| ⋅ sinφ
• 3) число, определяемое по формуле a ⋅ b = |a| ⋅ |b|