Материалы по запросу: в треугольнике abc отмечены точки d на ab e на ac
Сложная задачка по геометрии В треугольнике ABC на стороне AB и на продолжении стороны BC за точку C отмечены…
задачка по геометрии В треугольнике ABC на стороне AB и на продолжении стороны BC за точку C отмечены точки E и F соответственно так, что AE = CF = AC. Прямые EC и AF пересекаются в точке D. Докажите, что прямая
Ответ на вопрос
Доказательство:Обозначим точку пересечения прямых AE и CF за G.
Так как AE = AC, то треугольник AEC является равнобедренным, поэтому угол AEC = угол EAC.
Также, так как CF = AC, то треугольник AFC является равнобедренным, поэтому угол AFC = угол FAC.
Отсюда следует, что угол AEC + угол AFC = угол EAC + угол FAC = угол BAC.Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, получаем:
угол EAC + угол FAC + угол A = 180 градусов,
то есть угол EAC + угол AFC + угол A = 180 градусов.Так как угол EAC = угол AFC (из равнобедренности треугольников), получаем:
2угол EAC + угол A = 180 градусов,
то есть 2угол BAC = 180 градусов,
и, следовательно, угол BAC = 90 градусов.Таким образом, прямая, проходящая через точку D и перпендикулярная AC, является высотой треугольника ABC, и, как известно, проходит через центр вневписанной окружности треугольника ABC.
Еще
77
1
В треугольнике ABC проведена биссектриса AL. Точки E и D отмечены на отрезках AB и BL соответственно так, что…
В треугольнике ABC проведена биссектриса AL. Точки E и D отмечены на отрезках AB и BL соответственно так, что DL=LC, ED∥AC. Найдите длину отрезка ED, если известно, что AE=30, AC=24.
Ответ на вопрос
Из условия DL=LC следует, что AL=2DL, то есть AL=2x, DL=x, LC=x. Далее, из треугольников ABL и ACL следует, что AE/EC=AB/BC, то есть 30/x=(24-x)/2x. Решив это уравнение, найдем x=6.Теперь заметим, что треугольники ACL и AED подобны (по двум углам), поэтому AE/AC=ED/LC, то есть 30/24=ED/6. Решая это уравнение, найдем ED=5.Итак, длина отрезка ED составляет 5.
Еще
196
1
На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки D и E соответственно. Точки B,C,E,D лежат на одной окружности.…
На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки D и E соответственно. Точки B,C,E,D лежат на одной окружности. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ADC, если известно, что ∠CDE=∠BAC
Ответ на вопрос
Поскольку треугольник ABC описан около окружности, то угол в центре ∠A равен углу в окружности ∠BAC. Таким образом, ∠A = ∠BAC.Также, учитывая, что B,C,E,D лежат на одной окружности, получаем, что угол ∠CDE = ∠CBE.Теперь рассмотрим треугольники ABC и ADC. У них углы ∠ADC и ∠BAC равны, поскольку это основные углы. Также, углы ∠ACD и ∠ABC равны по свойству описанной около окружности. Следовательно, эти два треугольника подобны.Из подобия треугольников ABC и ADC следует, что AC/AB = AD/AC. Получаем AC^2 = ABAD = 1AD = AD.Теперь вернемся к треугольнику ADC. Углы ∠ADC и ∠A равны, а сторону AD мы нашли равной радиусу описанной около треугольника ABC окружности. Следовательно, треугольник ADC является равнобедренным.Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник со сторонами AD, AD и х, где x - радиус описанной около треугольника ADC окружности.Из пропорции прямоугольного треугольника ADx = AD^2 = 1. Следовательно, x = 1.Итак, радиус окружности, описанной около треугольника ADC, равен 1.
Еще
214
1
На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки D и E соотвественно. Точки B, C, E, D лежат на одной окружности.…
На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки D и E соотвественно. Точки B, C, E, D лежат на одной окружности. Найдите радиус окружности описанной около треугольника ADC если известно что угол CDE
Ответ на вопрос
Поскольку точки B, C, E, D лежат на одной окружности, то угол CDE = 180 - угол CBE = 180 - угол CAB = 180 - угол C - угол A. Также угол BAC = угол CDE.Из этого следует, что угол C = угол A, то есть треугольник ABC является равнобедренным. Так как радиус описанной окружности вокруг равнобедренного треугольника равен 1, то высота, опущенная из вершины C на основание AB, равна 1. Поэтому BC = 2.Так как треугольник ADC также равнобедренный, радиус окружности, описанной вокруг него, равен 1. Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг треугольника ADC, также равен 1.
Еще
210
1
На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки D и E , причем точка D является серединой отрезка AB, AE=12…
На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки D и E , причем точка D является серединой отрезка AB, AE=12 см, DE=1 см. Может ли длина отрезка AB быть равной 27 см.
Ответ на вопрос
Нет, длина отрезка AB не может быть равна 27 см.Так как точка D является серединой отрезка AB, то BD = AD. Также из условия известно, что AE = 12 см и DE = 1 см.Таким образом, получаем, что BD = AD = 27 / 2 = 13.5 см.Теперь воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике ABD:AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2ADBD*cos(BAD).Подставляем известные значения:27^2 = 13.5^2 + 13.5^2 - 213.513.5cos(BAD),
729 = 182.25 + 182.25 - 382.5cos(BAD),
729 = 364.5 - 382.5cos(BAD),
364.5cos(BAD) = -365.5,
cos(BAD) = -1.Так как косинус угла не может быть меньше -1, то полученное уравнение не имеет смысла. Следовательно, длина отрезка AB не может быть равна 27 см.
Еще
418
1
Внутри треугольника abc отмечена точка M, а на стороне BC-точки D и E так, что DM паралельна AB, EM паралельна…
Внутри треугольника abc отмечена точка M, а на стороне BC-точки D и E так, что DM паралельна AB, EM паралельна AC, BD = DM и CE = EM. докажите , что точка M равноудалена от сторон треугольника ABC
Ответ на вопрос
Для начала заметим, что треугольники BDM и BEC равнобедренные, так как BD = DM и CE = EM. Таким образом, BD = DM = BE = EC. Посмотрим на треугольник BAC. Поскольку DM || AB и EM || AC, то по теореме Талле точка M делит сторону BC пополам. Таким образом, точка M равноудалена от сторон треугольника ABC.
Еще
189
1
№1.В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC на медиане B отмечена точкаK, а на сторонах AB и BC-точки…
№1.В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC на медиане B отмечена точкаK, а на сторонах AB и BC-точки M и N соответственно.Известно , что BKM=BKN, BMK=110о. а) Найдите угол BNK. б) Докажите ,
Ответ на вопрос
а) Угол BNK равен 70 градусов. Это следует из того, что BKM=BKN, следовательно, BMN=180-2*110= -100 градусов.
Из равенства треугольников BMN и BKN, BNK= BNK=10 градусов, и NBK=90-10=80 градусов.
б) Чтобы доказать, что прямые MN и BK взаимно перпендикулярны, надо показать, что BNK=90 градусов. Мы уже выяснили это в пункте а), следовательно, прямые MN и BK взаимно перпендикулярны.а) Угол DFE равен 61 градус. Это следует из условия ABC=61° и ADF=61°.
б) Чтобы доказать, что прямые AB и EF пересекаются, нам нужно доказать, что угол ABC равен углу FED. Из условия ABC=61° и CEF=60°, мы можем найти, что угол FED=61°, а значит, прямые AB и EF пересекаются.а) Длина отрезка BD равна 3 см. Это следует из того, что CBD=15°, а угол C равен 15°, следовательно, треугольник BCD - равнобедренный, и BD=CD=3 см.
б) Чтобы доказать, что BC<12 см, рассмотрим треугольник BCD. Мы уже знаем, что BD=CD=3 см. Из того, что CBD=15°, мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти BC. Получаем, что BC=3/sin(15°)=12 см. Значит, BC<12 см.
Еще
181
1
На гипотенузе ab прямоугольного треугольника abc отмечены такие точки d и e , что bd=bc и ae=ac. Найдите угол…
На гипотенузе ab прямоугольного треугольника abc отмечены такие точки d и e , что bd=bc и ae=ac. Найдите угол cde
Ответ на вопрос
Поскольку bd = bc и ae = ac, треугольники bcd и acd являются равнобедренными. Так как углы bdc и adc равны, то cde является равнобедренным треугольником. Следовательно, угол cde равен углу ced. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, а углы в треугольнике acd равны, то углы ced и dac также равны. Таким образом, угол cde равен углу dac, который является углом в треугольнике abc напротив гипотенузы. Поэтому угол cde равен углу c.
Еще
216
1
На сторонах AB, BC, AC треугольника ABC отмечены точки D, E, P соответственно, AB=4см, AD=3см, AP=6см, DP=4см,…
сторонах AB, BC, AC треугольника ABC отмечены точки D, E, P соответственно, AB=4см, AD=3см, AP=6см, DP=4см, BE=8см, DE=12см. 1) Докажите, что DE||AC 2) Найдите отношение площадей треугольников DBE и ADP
Ответ на вопрос
1) Из условия известно, что DP || AC и AD || PE. Так как AD = 3 см, DP = 4 см и AP = 6 см, то треугольники ADP и AEP подобны по правому признаку (по двум катетам). Из подобия следует, что DE || AC.2) Площадь треугольника вычисляется по формуле: S = 0.5 a b * sin(C), где a и b - стороны треугольника, C - угол между этими сторонами.Площадь треугольника DBE: S(DBE) = 0.5 BE DE sin(EBD).
Площадь треугольника ADP: S(ADP) = 0.5 AD DP sin(DPA).Так как DE || AC, то угол EBD = DPA, следовательно, sin(EBD) = sin(DPA).Отношение площадей треугольников: S(DBE) / S(ADP) = (0.5 BE DE sin(EBD)) / (0.5 AD DP sin(DPA)) = (BE DE) / (AD DP) = 8 12 / (3 4) = 32 / 12 = 8 / 3.Ответ: отношение площадей треугольников DBE и ADP равно 8/3.
Еще
139
1
Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки, когда часы показывают ровно 4 часа? Основания…
трапеции. на стороне АС треугольника АВС отмечены точки D и E так,что АD=CE. Докажите, что если BD=BE, то AB=BC. В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов, AC=22, codA=11/17. AB-?
Ответ на вопрос
Угол между минутной и часовой стрелками в 4 часа составляет 120 градусов.Площадь трапеции можно найти, используя формулу S = ((a + b) / 2) h, где a и b - основания трапеции, h - высота трапеции. Из условия задачи получаем уравнение 8 + 18 + 2x = 52, откуда x = 13.5. Таким образом, площадь трапеции равна S = ((8 + 18) / 2) 13.5 = 189.Рассмотрим треугольники ABD и BCE. Из условия BD = BE и AD = EC следует, что треугольники равны по стороне и двум углам, прилежащим к этой стороне. Таким образом, у них равны соответствующие стороны, а значит AB = BC.Рассмотрим треугольник ABC. Из условия угла C равного 90 градусов и cosA = 11/17 следует, что sinA = sqrt(1 - (11/17)^2) = sqrt(48/289) = 4/17. Таким образом, AB = AC sinA = 22 4/17 = 88/17.
Еще
183
1
На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки D и E так,что AD=DE и угол BAE=углу CAE.Докажите,что DE||AC…
На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки D и E так,что AD=DE и угол BAE=углу CAE.Докажите,что DE||AC
Ответ на вопрос
Из условия имеем, что угол BAE = угол CAE, следовательно, треугольники ABE и ACE подобны по признаку (по двум углам). Так как AD = DE, то треугольники ADE и ACE являются равными (по двум сторонам и углу), а значит у них равны соответствующие углы. Так как у треугольника ACE угол A = углу A, то по признаку треугольники ADE и ACE также подобны. Тогда углы DEC и ECA равны. Отсюда следует, что линии AC и DE параллельны.
Еще
189
1
!!!!15б!!!! На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки D, F и E соответственно так, что BD = BF = DE…
!!!!15б!!!! На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки D, F и E соответственно так, что BD = BF = DE = EF. Докажите, что точка F принадлежит биссектрисе угла BDE.
Ответ на вопрос
Доказательство:Поскольку BD = BF, то треугольник BDF равнобедренный, а значит угол DBF = DBF = x (1).Поскольку DE = EF, то треугольник DEF равнобедренный, а значит угол DFE = DEF = y (2).Из углов x и y мы можем найти угол EDF, так как сумма углов треугольника равна 180 градусов:x + y + EDF = 180EDF = 180 - x - yEDF = 180 - 2x (3).Из углов (1) и (3) видно, что угол FBD равен половине угла EDF:FBD = (180 - x - 2x) / 2 = 90 - 1.5xНо так как угол FBD равен углу FBE, мы можем сделать вывод, что точка F лежит на биссектрисе угла BDE.
Таким образом, мы доказали, что точка F принадлежит биссектрисе угла BDE.
Еще
286
1
На сторонах AB. AC. BC треугольника ABC отмечены точки D. F. E соответственно АВ=9 см. АD=3 см. АР=6 см. DP=4 см.…
сторонах AB. AC. BC треугольника ABC отмечены точки D. F. E соответственно АВ=9 см. АD=3 см. АР=6 см. DP=4 см. ВЕ=8 см. DE=12 см 1)Докажите что DE паралельно АС 2)Найдите отношение треугольников DBE и ADP
Ответ на вопрос
1) Для начала заметим, что треугольники ADE и ABC подобны по трем сторонам (по двум сторонам и углу между ними), так как у них соответственно равны углы A и D по построению, угол DAE общий, стороны AD и AE соответственно параллельны BC и AB, поэтому углы ADE и ABC также равны. Таким образом, из подобия треугольников ADE и ABC следует, что отношение сторон DE и AC равно отношению сторон AD и AB, то есть DE/AC = AD/AB, что равносильно DE/AC = 3/9 = 1/3.Поскольку DE/AC = 1/3, а AC = BC, то DE/BC = 1/3. Но мы знаем, что BC = BE + EC = 8 + 4 = 12, следовательно, DE = 1/3 * 12 = 4, то есть DE = EC, что означает, что DE параллельно AC.2) Так как DE параллельно AC, то треугольники DBE и ADP также подобны. Отношение треугольников DBE и ADP будет равно квадрату отношения стороны DB к стороне AD, так как эти треугольники подобны. DB/AD = 8/4 = 2, соответственно (DBE)/(ADP) = (DB/AD)^2 = 2^2 = 4.Итак, отношение треугольников DBE и ADP равно 4.
Еще
150
1
На сторонах треугольника AB и BC треугольника ABC отмечены точки D и E соответственно. Прямая DE пересекает…
На сторонах треугольника AB и BC треугольника ABC отмечены точки D и E соответственно. Прямая DE пересекает продолжение AC за точку C в точке F. Оказалось, что AD=DC=CF, DE=EC ∠ACB=48 Найдите ∠EAC. В
Ответ на вопрос
Из условия задачи мы знаем, что AD=DC=CF, DE=EC, а также ∠ACB=48.Так как AD=DC=CF, то треугольник ACF - равнобедренный, следовательно, ∠ACF=∠CAF.Так как DE=EC, то треугольник DEC - равносторонний, следовательно, ∠DCE=∠DEC.Так как AC является биссектрисой угла CAB, то ∠DCE=∠CAE.Таким образом, у нас есть равенство ∠CAE=∠DEC=∠DCE. Также отметим, что ∠ACB=48, а значит ∠BAC=∠ABC=66 (так как сумма углов треугольника равна 180).Так как сумма углов в треугольнике ACE также равна 180, то получаем, что ∠CAE=∠ACE=180-66-48=66.Итак, ∠EAC=66 градусов.
Еще
290
1
В треугольнике ABC AC = 16 и ВС = 12. На продолженияхсторон AC и BC за точку С отмечены точки E и D соответственно…
В треугольнике ABC AC = 16 и ВС = 12. На продолженияхсторон AC и BC за точку С отмечены точки E и D соответственно так, что прямые DE и AB параллельны. Найдите СЕ,если CD = 6.
Ответ на вопрос
Поскольку DE || AB, то по теореме Талеса отношение отрезков CE и EA равно отношению отрезков CD и DB.Таким образом, CE/EA = CD/DBТак как AC = 16, то DB = BC - CD = 12 - 6 = 6Итак, CE/EA = 6/6 = 1Следовательно, CE = EAТак как треугольник ACE является прямоугольным треугольником с гипотенузой AC, то CE = √(AC^2 - EA^2) = √(16^2 - 8^2) = √(256 - 64) = √192 = 8√3Итак, CE = 8√3.
Еще
281
1
Дан треугольник ABC. На стороне AB отмечена точка B1 так, что AB1:AB=1:3, на стороне AC отмечена точка C1 так,…
Дан треугольник ABC. На стороне AB отмечена точка B1 так, что AB1:AB=1:3, на стороне AC отмечена точка C1 так, что AC1:AC=1:2. Через точки B1,A,C1 проведена окружность. Через точку B1 проходит прямая,
Ответ на вопрос
Пусть точки B(0,0), A(6,0), C(4,8) - координаты вершин треугольника ABC.Тогда точки B1(2,0), C1(5,4) - координаты точек B1 и C1 соответственно.Уравнение окружности с центром в точке (x0, y0) и радиусом R:
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = R^2Уравнение окружности, проходящей через точки B1, A и C1:
(x - 2)^2 + y^2 = R^2
(6 - 2)^2 + 0^2 = R^2
R = 4Таким образом, уравнение окружности: (x - 2)^2 + y^2 = 16.Прямая, проходящая через B1 и пересекающая AC1 и окружность, имеет уравнение x = 2.Найдем координаты точек D и E:
D(2, 2), E(2 - sqrt(3), sqrt(7))Площадь треугольника B1EC1 равна: (1/2) |(x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2))|, где (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3) - координаты его вершин.
Подставляем координаты B1(2,0), E(2-√3,√7), C1(5,4):
(1/2) |(2(√7 - 4) + (2-√3)4 + 50)| = (1/2) (2√7 - 8 + 8 - 4√3) = √7 - 2√3Ответ: площадь треугольника B1EC1 равна √7 - 2√3.
Еще
285
1
1)На стороне BC параллелограмма ABCD отмечена точка E так,что BE:EC=4:7.Прямые DE и AB пересекаются в точке…
1)На стороне BC параллелограмма ABCD отмечена точка E так,что BE:EC=4:7.Прямые DE и AB пересекаются в точке F. найдите AF если AB=21 ,EC=7 см 2)В треугольнике ABCD сторона BC равна 9 см найдите длину отрезка
Ответ на вопрос
1) Сначала найдем длину BC. Поскольку BE:EC=4:7, то BC=BE+EC=4x+7x=11x, где x - общий множитель. Так как EC=7 см, то 11x=7, откуда x=7/11. Значит, BC=11*(7/11)=7 см.Теперь найдем длину AB. Так как AB:BC=4:7, то AB=(4/7)BC=(4/7)7=4 см.Теперь можем использовать подобные треугольники ADF и CEF, так как они имеют параллельные стороны и соответствующие углы. Используя пропорциональность сторон, найдем AF:AD=FE:EC=DA:AC.AF:21=4:7, откуда AF=(4/7)*21=12 см.Итак, AF=12 см.2) Для этого сначала найдем точку пересечения медиан треугольника ABC (точка пересечения медиан называется центр масс треугольника). Она находится на расстоянии 2/3 от вершины где проведена медиана. Таким образом, точка пересечения медиан лежит на отрезке AB в точке M, где AM:(AB-AM)=2:1.Теперь, используя подобие треугольников, можно найти длину отрезка по аналогии с решением в задаче 1.Описать подобие треугольников в данной задаче и решить подобие. 3) Отрезок АЕ является высотой треугольника СDE. Так как СE=1 см, DЕ=2 см (так как СЕ:DE=1:2), то площадь треугольника СDE равна S=1*2/2=1 см^2.Так как S=1/2CDH, где CD=1 см, H - высота треугольника СDE относительно стороны CD, то H=2 см.Таким образом, расстояние от точки C до прямой АЕ равно Н=2 см.4) Для построения треугольника по периметру и двум углам сначала нужно определить его стороны, которые могут быть найдены с помощью теоремы косинусов или других подходящих методов. После этого можно построить треугольник по полученным данным.5) Пусть радиус окружности равен R. Так как М - середина хорды, то МC=MD=a+b. Также известно, что MD=MC=b, то есть a+b=b, откуда a=0. Значит, хорда AB равна 0.6) Поскольку АС=2/3AB и AD=9 см, то AB=3/2AC. Пусть AC=x. Тогда AB=3x/2.Так как ACCD=BCAD, то x9=(x+2/3AB)AB, откуда 9x=(x+2/33x/2)3x/2.Решив это уравнение, найдем длину отрезка AB.7) В этом случае отрезок AC является диаметром окружности, так как АВ является хордой, а О - центр окружности, а значит, OA=OB=OC=OD=радиусу окружности R. Значит, отрезок AC равен 2R.
Еще
402
1
На сторонах AB, BC, AC треугольника ABC отмечены точки D, E, P соответственно; AB = 9 см, AD = 3 см, AP = 6 см, DP = 4…
На сторонах AB, BC, AC треугольника ABC отмечены точки D, E, P соответственно; AB = 9 см, AD = 3 см, AP = 6 см, DP = 4 см, BE = 8 см, DE = 12 см. а) Найдите отношение площадей ΔDBE и ΔADP. [4] б) Докажите
Ответ на вопрос
а) Площади треугольников можно найти по формуле: ( S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} ).
Площадь треугольника ( \Delta DBE ):
( S{DBE} = \frac{1}{2} \times BE \times DP = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16 ) кв. см.
Площадь треугольника ( \Delta ADP ):
( S{ADP} = \frac{1}{2} \times AD \times AP = \frac{1}{2} \times 3 \times 6 = 9 ) кв. см.
Отношение площадей ( \frac{S{DBE}}{S{ADP}} = \frac{16}{9} = \frac{16}{9} ).б) Докажем, что DE и AC параллельны.
Из условия известно, что ( DE = 12 ) см, ( AD = 3 ) см, ( AP = 6 ) см.
Рассмотрим треугольники ( \Delta ADE ) и ( \Delta PDA ).
По условию ( \angle DAP = \angle DEA ) (обозначим их как ( \alpha )) так как это углы противоположные при вершине.
Также ( \angle D = \angle D ), т.к. угол равен самому себе.
Таким образом, по углу-углу-стороне эти два треугольника подобны.
Из подобия треугольников ( \Delta ADE ) и ( \Delta PDA ) следует, что соответствующие стороны параллельны.
Таким образом, отрезок DE параллелен отрезку AC.
Еще
410
1
Что часто ищут
Поможем написать учебную работу