Сложная задачка по геометрии В треугольнике ABC на стороне AB и на продолжении стороны BC за точку C отмечены…
задачка по геометрии В треугольнике ABC на стороне AB и на продолжении стороны BC за точку C отмечены точки E и F соответственно так, что AE = CF = AC. Прямые EC и AF пересекаются в точке D. Докажите, что прямая
Ответ на вопрос
Доказательство:Обозначим точку пересечения прямых AE и CF за G.
Так как AE = AC, то треугольник AEC является равнобедренным, поэтому угол AEC = угол EAC.
Также, так как CF = AC, то треугольник AFC является равнобедренным, поэтому угол AFC = угол FAC.
Отсюда следует, что угол AEC + угол AFC = угол EAC + угол FAC = угол BAC.Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, получаем:
угол EAC + угол FAC + угол A = 180 градусов,
то есть угол EAC + угол AFC + угол A = 180 градусов.Так как угол EAC = угол AFC (из равнобедренности треугольников), получаем:
2угол EAC + угол A = 180 градусов,
то есть 2угол BAC = 180 градусов,
и, следовательно, угол BAC = 90 градусов.Таким образом, прямая, проходящая через точку D и перпендикулярная AC, является высотой треугольника ABC, и, как известно, проходит через центр вневписанной окружности треугольника ABC.
Еще
В треугольнике ABC проведена биссектриса AL. Точки E и D отмечены на отрезках AB и BL соответственно так, что…
В треугольнике ABC проведена биссектриса AL. Точки E и D отмечены на отрезках AB и BL соответственно так, что DL=LC, ED∥AC. Найдите длину отрезка ED, если известно, что AE=30, AC=24.
Ответ на вопрос
Из условия DL=LC следует, что AL=2DL, то есть AL=2x, DL=x, LC=x. Далее, из треугольников ABL и ACL следует, что AE/EC=AB/BC, то есть 30/x=(24-x)/2x. Решив это уравнение, найдем x=6.Теперь заметим, что треугольники ACL и AED подобны (по двум углам), поэтому AE/AC=ED/LC, то есть 30/24=ED/6. Решая это уравнение, найдем ED=5.Итак, длина отрезка ED составляет 5.
Еще
На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки D и E соответственно. Точки B,C,E,D лежат на одной окружности.…
На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки D и E соответственно. Точки B,C,E,D лежат на одной окружности. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ADC, если известно, что ∠CDE=∠BAC
Ответ на вопрос
Поскольку треугольник ABC описан около окружности, то угол в центре ∠A равен углу в окружности ∠BAC. Таким образом, ∠A = ∠BAC.Также, учитывая, что B,C,E,D лежат на одной окружности, получаем, что угол ∠CDE = ∠CBE.Теперь рассмотрим треугольники ABC и ADC. У них углы ∠ADC и ∠BAC равны, поскольку это основные углы. Также, углы ∠ACD и ∠ABC равны по свойству описанной около окружности. Следовательно, эти два треугольника подобны.Из подобия треугольников ABC и ADC следует, что AC/AB = AD/AC. Получаем AC^2 = ABAD = 1AD = AD.Теперь вернемся к треугольнику ADC. Углы ∠ADC и ∠A равны, а сторону AD мы нашли равной радиусу описанной около треугольника ABC окружности. Следовательно, треугольник ADC является равнобедренным.Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник со сторонами AD, AD и х, где x - радиус описанной около треугольника ADC окружности.Из пропорции прямоугольного треугольника ADx = AD^2 = 1. Следовательно, x = 1.Итак, радиус окружности, описанной около треугольника ADC, равен 1.
Еще
На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки D и E , причем точка D является серединой отрезка AB, AE=12…
На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки D и E , причем точка D является серединой отрезка AB, AE=12 см, DE=1 см. Может ли длина отрезка AB быть равной 27 см.
Ответ на вопрос
Нет, длина отрезка AB не может быть равна 27 см.Так как точка D является серединой отрезка AB, то BD = AD. Также из условия известно, что AE = 12 см и DE = 1 см.Таким образом, получаем, что BD = AD = 27 / 2 = 13.5 см.Теперь воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике ABD:AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2ADBD*cos(BAD).Подставляем известные значения:27^2 = 13.5^2 + 13.5^2 - 213.513.5cos(BAD),
729 = 182.25 + 182.25 - 382.5cos(BAD),
729 = 364.5 - 382.5cos(BAD),
364.5cos(BAD) = -365.5,
cos(BAD) = -1.Так как косинус угла не может быть меньше -1, то полученное уравнение не имеет смысла. Следовательно, длина отрезка AB не может быть равна 27 см.
Еще
На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки D и E соотвественно. Точки B, C, E, D лежат на одной окружности.…
На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки D и E соотвественно. Точки B, C, E, D лежат на одной окружности. Найдите радиус окружности описанной около треугольника ADC если известно что угол CDE
Ответ на вопрос
Поскольку точки B, C, E, D лежат на одной окружности, то угол CDE = 180 - угол CBE = 180 - угол CAB = 180 - угол C - угол A. Также угол BAC = угол CDE.Из этого следует, что угол C = угол A, то есть треугольник ABC является равнобедренным. Так как радиус описанной окружности вокруг равнобедренного треугольника равен 1, то высота, опущенная из вершины C на основание AB, равна 1. Поэтому BC = 2.Так как треугольник ADC также равнобедренный, радиус окружности, описанной вокруг него, равен 1. Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг треугольника ADC, также равен 1.
Еще
Внутри треугольника abc отмечена точка M, а на стороне BC-точки D и E так, что DM паралельна AB, EM паралельна…
Внутри треугольника abc отмечена точка M, а на стороне BC-точки D и E так, что DM паралельна AB, EM паралельна AC, BD = DM и CE = EM. докажите , что точка M равноудалена от сторон треугольника ABC
Ответ на вопрос
Для начала заметим, что треугольники BDM и BEC равнобедренные, так как BD = DM и CE = EM. Таким образом, BD = DM = BE = EC. Посмотрим на треугольник BAC. Поскольку DM || AB и EM || AC, то по теореме Талле точка M делит сторону BC пополам. Таким образом, точка M равноудалена от сторон треугольника ABC.
Еще
№1.В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC на медиане B отмечена точкаK, а на сторонах AB и BC-точки…
№1.В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC на медиане B отмечена точкаK, а на сторонах AB и BC-точки M и N соответственно.Известно , что BKM=BKN, BMK=110о. а) Найдите угол BNK. б) Докажите ,
Ответ на вопрос
а) Угол BNK равен 70 градусов. Это следует из того, что BKM=BKN, следовательно, BMN=180-2*110= -100 градусов.
Из равенства треугольников BMN и BKN, BNK= BNK=10 градусов, и NBK=90-10=80 градусов.
б) Чтобы доказать, что прямые MN и BK взаимно перпендикулярны, надо показать, что BNK=90 градусов. Мы уже выяснили это в пункте а), следовательно, прямые MN и BK взаимно перпендикулярны.а) Угол DFE равен 61 градус. Это следует из условия ABC=61° и ADF=61°.
б) Чтобы доказать, что прямые AB и EF пересекаются, нам нужно доказать, что угол ABC равен углу FED. Из условия ABC=61° и CEF=60°, мы можем найти, что угол FED=61°, а значит, прямые AB и EF пересекаются.а) Длина отрезка BD равна 3 см. Это следует из того, что CBD=15°, а угол C равен 15°, следовательно, треугольник BCD - равнобедренный, и BD=CD=3 см.
б) Чтобы доказать, что BC<12 см, рассмотрим треугольник BCD. Мы уже знаем, что BD=CD=3 см. Из того, что CBD=15°, мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти BC. Получаем, что BC=3/sin(15°)=12 см. Значит, BC<12 см.
Еще
На гипотенузе ab прямоугольного треугольника abc отмечены такие точки d и e , что bd=bc и ae=ac. Найдите угол…
На гипотенузе ab прямоугольного треугольника abc отмечены такие точки d и e , что bd=bc и ae=ac. Найдите угол cde
Ответ на вопрос
Поскольку bd = bc и ae = ac, треугольники bcd и acd являются равнобедренными. Так как углы bdc и adc равны, то cde является равнобедренным треугольником. Следовательно, угол cde равен углу ced. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, а углы в треугольнике acd равны, то углы ced и dac также равны. Таким образом, угол cde равен углу dac, который является углом в треугольнике abc напротив гипотенузы. Поэтому угол cde равен углу c.
Еще
На сторонах AB, BC, AC треугольника ABC отмечены точки D, E, P соответственно, AB=4см, AD=3см, AP=6см, DP=4см,…
сторонах AB, BC, AC треугольника ABC отмечены точки D, E, P соответственно, AB=4см, AD=3см, AP=6см, DP=4см, BE=8см, DE=12см. 1) Докажите, что DE||AC 2) Найдите отношение площадей треугольников DBE и ADP
Ответ на вопрос
1) Из условия известно, что DP || AC и AD || PE. Так как AD = 3 см, DP = 4 см и AP = 6 см, то треугольники ADP и AEP подобны по правому признаку (по двум катетам). Из подобия следует, что DE || AC.2) Площадь треугольника вычисляется по формуле: S = 0.5 a b * sin(C), где a и b - стороны треугольника, C - угол между этими сторонами.Площадь треугольника DBE: S(DBE) = 0.5 BE DE sin(EBD).
Площадь треугольника ADP: S(ADP) = 0.5 AD DP sin(DPA).Так как DE || AC, то угол EBD = DPA, следовательно, sin(EBD) = sin(DPA).Отношение площадей треугольников: S(DBE) / S(ADP) = (0.5 BE DE sin(EBD)) / (0.5 AD DP sin(DPA)) = (BE DE) / (AD DP) = 8 12 / (3 4) = 32 / 12 = 8 / 3.Ответ: отношение площадей треугольников DBE и ADP равно 8/3.
Еще
Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки, когда часы показывают ровно 4 часа? Основания…
трапеции. на стороне АС треугольника АВС отмечены точки D и E так,что АD=CE. Докажите, что если BD=BE, то AB=BC. В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов, AC=22, codA=11/17. AB-?
Ответ на вопрос
Угол между минутной и часовой стрелками в 4 часа составляет 120 градусов.Площадь трапеции можно найти, используя формулу S = ((a + b) / 2) h, где a и b - основания трапеции, h - высота трапеции. Из условия задачи получаем уравнение 8 + 18 + 2x = 52, откуда x = 13.5. Таким образом, площадь трапеции равна S = ((8 + 18) / 2) 13.5 = 189.Рассмотрим треугольники ABD и BCE. Из условия BD = BE и AD = EC следует, что треугольники равны по стороне и двум углам, прилежащим к этой стороне. Таким образом, у них равны соответствующие стороны, а значит AB = BC.Рассмотрим треугольник ABC. Из условия угла C равного 90 градусов и cosA = 11/17 следует, что sinA = sqrt(1 - (11/17)^2) = sqrt(48/289) = 4/17. Таким образом, AB = AC sinA = 22 4/17 = 88/17.
Еще
На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки D и E так,что AD=DE и угол BAE=углу CAE.Докажите,что DE||AC…
На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки D и E так,что AD=DE и угол BAE=углу CAE.Докажите,что DE||AC
Ответ на вопрос
Из условия имеем, что угол BAE = угол CAE, следовательно, треугольники ABE и ACE подобны по признаку (по двум углам). Так как AD = DE, то треугольники ADE и ACE являются равными (по двум сторонам и углу), а значит у них равны соответствующие углы. Так как у треугольника ACE угол A = углу A, то по признаку треугольники ADE и ACE также подобны. Тогда углы DEC и ECA равны. Отсюда следует, что линии AC и DE параллельны.
Еще
!!!!15б!!!! На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки D, F и E соответственно так, что BD = BF = DE…
!!!!15б!!!! На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки D, F и E соответственно так, что BD = BF = DE = EF. Докажите, что точка F принадлежит биссектрисе угла BDE.
Ответ на вопрос
Доказательство:Поскольку BD = BF, то треугольник BDF равнобедренный, а значит угол DBF = DBF = x (1).Поскольку DE = EF, то треугольник DEF равнобедренный, а значит угол DFE = DEF = y (2).Из углов x и y мы можем найти угол EDF, так как сумма углов треугольника равна 180 градусов:x + y + EDF = 180EDF = 180 - x - yEDF = 180 - 2x (3).Из углов (1) и (3) видно, что угол FBD равен половине угла EDF:FBD = (180 - x - 2x) / 2 = 90 - 1.5xНо так как угол FBD равен углу FBE, мы можем сделать вывод, что точка F лежит на биссектрисе угла BDE.
Таким образом, мы доказали, что точка F принадлежит биссектрисе угла BDE.
Еще
На сторонах AB. AC. BC треугольника ABC отмечены точки D. F. E соответственно АВ=9 см. АD=3 см. АР=6 см. DP=4 см.…
сторонах AB. AC. BC треугольника ABC отмечены точки D. F. E соответственно АВ=9 см. АD=3 см. АР=6 см. DP=4 см. ВЕ=8 см. DE=12 см 1)Докажите что DE паралельно АС 2)Найдите отношение треугольников DBE и ADP
Ответ на вопрос
1) Для начала заметим, что треугольники ADE и ABC подобны по трем сторонам (по двум сторонам и углу между ними), так как у них соответственно равны углы A и D по построению, угол DAE общий, стороны AD и AE соответственно параллельны BC и AB, поэтому углы ADE и ABC также равны. Таким образом, из подобия треугольников ADE и ABC следует, что отношение сторон DE и AC равно отношению сторон AD и AB, то есть DE/AC = AD/AB, что равносильно DE/AC = 3/9 = 1/3.Поскольку DE/AC = 1/3, а AC = BC, то DE/BC = 1/3. Но мы знаем, что BC = BE + EC = 8 + 4 = 12, следовательно, DE = 1/3 * 12 = 4, то есть DE = EC, что означает, что DE параллельно AC.2) Так как DE параллельно AC, то треугольники DBE и ADP также подобны. Отношение треугольников DBE и ADP будет равно квадрату отношения стороны DB к стороне AD, так как эти треугольники подобны. DB/AD = 8/4 = 2, соответственно (DBE)/(ADP) = (DB/AD)^2 = 2^2 = 4.Итак, отношение треугольников DBE и ADP равно 4.
Еще
На сторонах треугольника AB и BC треугольника ABC отмечены точки D и E соответственно. Прямая DE пересекает…
На сторонах треугольника AB и BC треугольника ABC отмечены точки D и E соответственно. Прямая DE пересекает продолжение AC за точку C в точке F. Оказалось, что AD=DC=CF, DE=EC ∠ACB=48 Найдите ∠EAC. В
Ответ на вопрос
Из условия задачи мы знаем, что AD=DC=CF, DE=EC, а также ∠ACB=48.Так как AD=DC=CF, то треугольник ACF - равнобедренный, следовательно, ∠ACF=∠CAF.Так как DE=EC, то треугольник DEC - равносторонний, следовательно, ∠DCE=∠DEC.Так как AC является биссектрисой угла CAB, то ∠DCE=∠CAE.Таким образом, у нас есть равенство ∠CAE=∠DEC=∠DCE. Также отметим, что ∠ACB=48, а значит ∠BAC=∠ABC=66 (так как сумма углов треугольника равна 180).Так как сумма углов в треугольнике ACE также равна 180, то получаем, что ∠CAE=∠ACE=180-66-48=66.Итак, ∠EAC=66 градусов.
Еще
В треугольнике ABC AC = 16 и ВС = 12. На продолженияхсторон AC и BC за точку С отмечены точки E и D соответственно…
В треугольнике ABC AC = 16 и ВС = 12. На продолженияхсторон AC и BC за точку С отмечены точки E и D соответственно так, что прямые DE и AB параллельны. Найдите СЕ,если CD = 6.
Ответ на вопрос
Поскольку DE || AB, то по теореме Талеса отношение отрезков CE и EA равно отношению отрезков CD и DB.Таким образом, CE/EA = CD/DBТак как AC = 16, то DB = BC - CD = 12 - 6 = 6Итак, CE/EA = 6/6 = 1Следовательно, CE = EAТак как треугольник ACE является прямоугольным треугольником с гипотенузой AC, то CE = √(AC^2 - EA^2) = √(16^2 - 8^2) = √(256 - 64) = √192 = 8√3Итак, CE = 8√3.
Еще
Дан треугольник ABC. На стороне AB отмечена точка B1 так, что AB1:AB=1:3, на стороне AC отмечена точка C1 так,…
Дан треугольник ABC. На стороне AB отмечена точка B1 так, что AB1:AB=1:3, на стороне AC отмечена точка C1 так, что AC1:AC=1:2. Через точки B1,A,C1 проведена окружность. Через точку B1 проходит прямая,
Ответ на вопрос
Пусть точки B(0,0), A(6,0), C(4,8) - координаты вершин треугольника ABC.Тогда точки B1(2,0), C1(5,4) - координаты точек B1 и C1 соответственно.Уравнение окружности с центром в точке (x0, y0) и радиусом R:
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = R^2Уравнение окружности, проходящей через точки B1, A и C1:
(x - 2)^2 + y^2 = R^2
(6 - 2)^2 + 0^2 = R^2
R = 4Таким образом, уравнение окружности: (x - 2)^2 + y^2 = 16.Прямая, проходящая через B1 и пересекающая AC1 и окружность, имеет уравнение x = 2.Найдем координаты точек D и E:
D(2, 2), E(2 - sqrt(3), sqrt(7))Площадь треугольника B1EC1 равна: (1/2) |(x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2))|, где (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3) - координаты его вершин.
Подставляем координаты B1(2,0), E(2-√3,√7), C1(5,4):
(1/2) |(2(√7 - 4) + (2-√3)4 + 50)| = (1/2) (2√7 - 8 + 8 - 4√3) = √7 - 2√3Ответ: площадь треугольника B1EC1 равна √7 - 2√3.
Еще
1)На стороне BC параллелограмма ABCD отмечена точка E так,что BE:EC=4:7.Прямые DE и AB пересекаются в точке…
1)На стороне BC параллелограмма ABCD отмечена точка E так,что BE:EC=4:7.Прямые DE и AB пересекаются в точке F. найдите AF если AB=21 ,EC=7 см 2)В треугольнике ABCD сторона BC равна 9 см найдите длину отрезка
Ответ на вопрос
1) Сначала найдем длину BC. Поскольку BE:EC=4:7, то BC=BE+EC=4x+7x=11x, где x - общий множитель. Так как EC=7 см, то 11x=7, откуда x=7/11. Значит, BC=11*(7/11)=7 см.Теперь найдем длину AB. Так как AB:BC=4:7, то AB=(4/7)BC=(4/7)7=4 см.Теперь можем использовать подобные треугольники ADF и CEF, так как они имеют параллельные стороны и соответствующие углы. Используя пропорциональность сторон, найдем AF:AD=FE:EC=DA:AC.AF:21=4:7, откуда AF=(4/7)*21=12 см.Итак, AF=12 см.2) Для этого сначала найдем точку пересечения медиан треугольника ABC (точка пересечения медиан называется центр масс треугольника). Она находится на расстоянии 2/3 от вершины где проведена медиана. Таким образом, точка пересечения медиан лежит на отрезке AB в точке M, где AM:(AB-AM)=2:1.Теперь, используя подобие треугольников, можно найти длину отрезка по аналогии с решением в задаче 1.Описать подобие треугольников в данной задаче и решить подобие. 3) Отрезок АЕ является высотой треугольника СDE. Так как СE=1 см, DЕ=2 см (так как СЕ:DE=1:2), то площадь треугольника СDE равна S=1*2/2=1 см^2.Так как S=1/2CDH, где CD=1 см, H - высота треугольника СDE относительно стороны CD, то H=2 см.Таким образом, расстояние от точки C до прямой АЕ равно Н=2 см.4) Для построения треугольника по периметру и двум углам сначала нужно определить его стороны, которые могут быть найдены с помощью теоремы косинусов или других подходящих методов. После этого можно построить треугольник по полученным данным.5) Пусть радиус окружности равен R. Так как М - середина хорды, то МC=MD=a+b. Также известно, что MD=MC=b, то есть a+b=b, откуда a=0. Значит, хорда AB равна 0.6) Поскольку АС=2/3AB и AD=9 см, то AB=3/2AC. Пусть AC=x. Тогда AB=3x/2.Так как ACCD=BCAD, то x9=(x+2/3AB)AB, откуда 9x=(x+2/33x/2)3x/2.Решив это уравнение, найдем длину отрезка AB.7) В этом случае отрезок AC является диаметром окружности, так как АВ является хордой, а О - центр окружности, а значит, OA=OB=OC=OD=радиусу окружности R. Значит, отрезок AC равен 2R.
Еще
На сторонах AB, BC, AC треугольника ABC отмечены точки D, E, P соответственно; AB = 9 см, AD = 3 см, AP = 6 см, DP = 4…
На сторонах AB, BC, AC треугольника ABC отмечены точки D, E, P соответственно; AB = 9 см, AD = 3 см, AP = 6 см, DP = 4 см, BE = 8 см, DE = 12 см. а) Найдите отношение площадей ΔDBE и ΔADP. [4] б) Докажите
Ответ на вопрос
а) Площади треугольников можно найти по формуле: ( S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} ).
Площадь треугольника ( \Delta DBE ):
( S{DBE} = \frac{1}{2} \times BE \times DP = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16 ) кв. см.
Площадь треугольника ( \Delta ADP ):
( S{ADP} = \frac{1}{2} \times AD \times AP = \frac{1}{2} \times 3 \times 6 = 9 ) кв. см.
Отношение площадей ( \frac{S{DBE}}{S{ADP}} = \frac{16}{9} = \frac{16}{9} ).б) Докажем, что DE и AC параллельны.
Из условия известно, что ( DE = 12 ) см, ( AD = 3 ) см, ( AP = 6 ) см.
Рассмотрим треугольники ( \Delta ADE ) и ( \Delta PDA ).
По условию ( \angle DAP = \angle DEA ) (обозначим их как ( \alpha )) так как это углы противоположные при вершине.
Также ( \angle D = \angle D ), т.к. угол равен самому себе.
Таким образом, по углу-углу-стороне эти два треугольника подобны.
Из подобия треугольников ( \Delta ADE ) и ( \Delta PDA ) следует, что соответствующие стороны параллельны.
Таким образом, отрезок DE параллелен отрезку AC.
Еще