Ответ на вопрос
Ключевые общие критерии (и короткие доказательства), затем частные случаи.
1) Алгебраический критерий (теорема Чева).
Пусть \(A'\in BC,\;B'\in CA,\;C'\in AB\). Прямые \(AA',BB',CC'\) конкурентны тогда и только тогда, когда выполняется
\[
\frac{BA'}{A'C}\cdot\frac{CB'}{B'A}\cdot\frac{AC'}{C'B}=1,
\]
(отношения берутся как ориентированные величины). Краткое доказательство: деля треугольник на шесть малых по площадям, выразить отношения отрезков через отношения площадей треугольников с общими высотами; произведение этих трёх отношений равно 1 тогда и только тогда, когда площади по циклу согласуются, что эквивалентно общему пересечению трёх прямых.
2) Тригонометрическая форма Чева (удобна, когда точки заданы углами).
Прямые \(AA',BB',CC'\) конкурентны тогда и только тогда, когда
\[
\frac{\sin\angle BA A'}{\sin\angle A'AC}\cdot\frac{\sin\angle CB B'}{\sin\angle B'BA}\cdot\frac{\sin\angle AC C'}{\sin\angle C'CB}=1.
\]
Доказательство — тот же аргумент площадей, но через формулу площади \( \tfrac12 xy\sin\theta\).
Теперь конкретные способы выбора точек.
A) Середины сторон (медианы).
Пусть \(A'\) — середина \(BC\), и т.д. Тогда \(\frac{BA'}{A'C}=1\) и аналогично для двух других сторон, поэтому по Чева
\[
1\cdot1\cdot1=1,
\]
т.е. медианы конкурентны. Точка пересечения — центроид (центр масс).
B) Точки касания вписанной окружности (точки контакта инкруга).
Обозначим полупериметр \(s=\tfrac{a+b+c}{2}\) при \(a=BC,\;b=CA,\;c=AB\). Если инкруг касается \(BC\) в \(A_t\), то стандартно
\[
BA_t=s-b,\qquad A_tC=s-c.
\]
Аналогично по циклу. Тогда по Чева
\[
\frac{s-b}{s-c}\cdot\frac{s-c}{s-a}\cdot\frac{s-a}{s-b}=1,
\]
следовательно прямые \(AA_t,BB_t,CC_t\) конкурентны. Точка пересечения — точка Гергеннона (Gergonne point).
C) Точки касания внешних окружностей (экс-касания) — Нагель.
Если в каждой стороне взять точку касания соответствующей внешней (экс-) окружности, то соответствующие троичные цевианы также конкурентны; точка пересечения — Нагель. Это следует либо прямым подсчётом длин касательных от вершин (стандартные выражения через \(s\)), либо применением Чева.
D) "Точки Симсона" (проекции точки \(P\) на стороны).
Определение: пусть \(P\) — точка на описанной окружности треугольника \(ABC\). Обозначим \(A_P,B_P,C_P\) проекции \(P\) соответственно на \(BC,CA,AB\) (точки Симсона — они лежат на одной прямой, линии Симсона). Вопрос о конкуренции прямых \(AA_P,BB_P,CC_P\).
- В общем положении такие цевианы не конкурентны. Для получения точного критерия применим тригонометрическую форму Чева. Так как \(A_P\) — основание перпендикуляра из \(P\), углы, входящие в синусы, можно выразить через углы с вершиной в \(A,B,C\) и углы \(\angle PAB,\angle PAC\) и т.д. Получаем условие
\[
\frac{\cos\angle PAB}{\cos\angle PAC}\cdot\frac{\cos\angle PBC}{\cos\angle PBA}\cdot\frac{\cos\angle PCA}{\cos\angle PCB}=1.
\]
Это ровно тригонометрическая форма Чева, подставленная для правых углов, и оно является необходимым и достаточным условием конкуренции цевиан через проекции точки \(P\).
- Вывод: для общих \(P\) на окружности выражение не равно 1, значит, конкуренции нет; конкуренция имеет место только при специальных положениях \(P\), которые удовлетворяют приведённому уравнению (например, вырожденные/симметричные случаи: в прямоугольном треугольнике при подходящем выборе вершины и т.д.). Конкретные геометрические описания таких \(P\) получаются решением указанного равенства на углах.
Заключение (универсальное):
- Универсальный и удобный критерий конкуренции — Чева в обычной и тригонометрической формах (\(\frac{BA'}{A'C}\cdot\frac{CB'}{B'A}\cdot\frac{AC'}{C'B}=1\) и тригонометрический вариант).
- Для стандартных конструкций: медианы и цевианы к контактам инкруга (и экс-контактам) удовлетворяют этому критерию (соответственно центроид, Гергеннон, Нагель).
- Для точек Симсона (проекций точки на стороны) конкуренция не является общим свойством; она подчиняется указанному тригонометрическому условию и выполняется только в частных случаях, определяемых этим равенством.
Если нужно, могу: (i) привести подробные алгебраические вычисления для экс-касательных (Nagel), (ii) разложить тригонометрическое условие для точек Симсона в более явные угловые уравнения и привести примеры точек \(P\), дающих конкуренцию.
Еще