[ТулГУ] Прикладная математика (контрольная, вариант 6)

ТулГУ. Прикладная математика. Вариант 6. Задания 1,2,3,4,5,6.

Задание 1. Транспортная задача

Имеются m пунктов поставки однородного груза А1, …, Ат, и n пунктов его потребления В1, …, Вn. На пункте Аi находится груз в количестве аi. В пункт Вj требуется доставить груз вj. Расстояние между пунктами поставки и пунктами потребления задается матрицей С.

Найти такой план перевозки Х груза, чтобы общие затраты по перевозкам были минимальными. Начальный опорный план найти всеми известными методами и выбрать наилучший план.

a_1=250;  a_2=100;  a_3=150;  

b_1=90;  b_2=75;  b_3=115;  a_1=100;  a_2=120;

C=(■(****************************))

Задание 2. Системы случайных величин

Точка (ξ_1;ξ_2 ) равномерно распределена внутри треугольника с вершинами (-1,0), (0,2), (1,0). Найдите ковариацию cov(ξ_1;ξ_2 ) и коэффициент корреляции r.

Задание 3. Функция дискретной случайной величины

Двумерная случайная величина (ξ;η) имеет таблицу распределения.

η ξ

-1 0 1

0 0,15 0,20 0,35

1 0,05 0,10 0,15

Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины:

ζ=(ξ+η)^2

Задание 4. Функция непрерывной случайной величины

Случайная величина ξ распределена по нормальному закону с плотностью вероятности:

p_ξ (x)=1/(σ√2π)∙e^(-x^2/(2σ^2 ))

Найти закон распределения обратной ей величины:

η=1/ξ

Задание 5. Цепи Маркова

Дана матрица Р вероятностей перехода цепи Маркова. Распределение по состояниям в момент t=0 определяется вектором q ̅. Найти:

1. Распределение по состояниям в момент t=2.

2. Вероятность того, что в моменты t=0, 1, 2 состояниями цепи будут соответственно 2, 1, 3 состояния.

3. Стационарное (предельное) распределение вероятностей.

P=(■(0,2&0,6&0,2@0,4&0,1&0,5@0,5&0,4&0,1));  q ̅={0,2;0,6;0,2}

Задание 6.

На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнениями (1), подаётся стационарная случайная функция ξ(t) с математическим ожиданием Mξ (2), и корреляционной функцией R_ξ (τ) (3).

Найти:

1. Математическое ожидание Mη.

2. Дисперсию Dη.

3. Корреляционную функцию R_η (t) на выходе системы в установившемся режиме.

(1)  η^'' (t)+5η^' (t)+6η(t)=ξ^' (t)+ξ(t)

(2)  Mξ=1

(3)  R_ξ (τ)=e^(-|τ| ) (1+|τ| )