Высшая математика ТулГУ Вариант №5 (15 заданий)

Тульский Государственный Университет

Высшая математика

Контрольная работа

Вариант №5 (15 заданий)

Задания №№: 25, 35, 45, 55, 75, 95, 135, 155, 165, 175, 195, 205, 245, 275, 285

В задачах 21-30 даны координаты точек A, B, C. Требуется:

1) записать векторы AB и AC в системе орт и найти модули этих векторов;

2) найти угол между векторами AB и AC;

3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору AB.

25 A(-2; -3; -8), B(3; -2; -8), C(1; 2; -4).

В задачах 31-40 даны векторы a1, a2, a3, b. Показать, что векторы a1, a2, a3 образуют базис трёхмерного пространства и найти координаты вектора b в этом базисе.

35 a1 = {4; 1; 4}, a2 = {-2; -1; 1}, a3 = {3; 1; 5}, b = {-3; -2; 1}.

В задачах 41-50 систему уравнений записать в матричной форме и решить её с помощью обратной матрицы:

45

В задачах 51-70 найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):

55 а) ;

б) ;

в) ;

г) .

В задачах 71-90 найти производные функций:

75 а) ;

б) y = (esinx + 3x)3;

в) 5x2y2 – 10y + 4 = 0.

В задачах 91-110 исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики.

Исследование функции рекомендуется проводить по следующей схеме:

1) найти область определения функции;

2) исследовать функцию на непрерывность;

3) определить, является ли данная функция чётной, нечётной;

4) найти интервалы монотонности функции и точки её экстремума;

5) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба;

6) найти асимптоты графика функции.

95 y = (x + 2)2 / (x2 + 4).

В задачах 131-150 найти указанные неопределённые интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием:

135 а) ;

б) ;

в) .

В задачах 151-160 вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертёж.

155 у = – x2 + 1, у = x – 1.

В задачах 161-165 вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертёж.

165 x2/16 + y2/9 = 1.

В задачах 171-190 найти общее решение дифференциаль¬ных уравнений первого порядка:

175 (ex + 2) y` = yex.

В задачах 191-200 найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее указанным начальным условиям:

195 y``+ 6y` + 9y = 100 sinx, у(0) = 0, y`(0) = 1.

В задачах 201-220 дан степенной ряд. Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.

205 .

245. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,6, вторым – 0,7, третьим – 0,8. Найти вероятность того, что при одном выстреле попадут в цель:

а) все три стрелка;

б) попадёт хотя бы один из них.

В задачах 271-280 задан закон распределения дискретной случайной величины X (в первой строке указаны возмож¬ные значения величины X, во второй строке даны вероятности p этих значений).

Найти:

1) математическое ожидание MX;

2) дисперсию DX;

3) среднее квадратическое отклонение s.

275 X 42 41 43 45

p 0,3 0,3 0,2 0,2

В задачах 281-290 случайная величина X задана интегральной функцией распределения F(x). Найти:

1) дифференциальную функцию распределения f(x);

2) математическое ожидание MX;

3) дисперсию DX.

285 0 при x < 4,

F(x) = x - 4 при 4 <= x <= 5,

1 при x > 5.