Высшая математика ТулГУ Вариант №5 (15 заданий)

Тульский Государственный Университет

Высшая математика

Контрольная работа

Вариант №5 (15 заданий)

Задания №№:   25, 35, 45, 55, 75, 95, 135, 155, 165, 175, 195, 205, 245, 275, 285

   В задачах 21-30 даны координаты точек A, B, C. Требуется:

1) записать векторы AB и AC в системе орт и найти модули этих векторов;

2) найти угол между векторами AB и AC;

3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору AB.

25   A(-2; -3; -8), B(3; -2; -8), C(1; 2; -4).

   В задачах 31-40 даны векторы a1, a2, a3, b. Показать, что векторы a1, a2, a3 образуют базис трёхмерного пространства и найти координаты вектора b в этом базисе.

35   a1 = {4; 1; 4}, a2 = {-2; -1; 1}, a3 = {3; 1; 5}, b = {-3; -2; 1}.

   В задачах 41-50 систему уравнений записать в матричной форме и решить её с помощью обратной матрицы:

45   

   В задачах 51-70 найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):

55   а) ;

   б) ;

   в) ;

   г) .

   В задачах 71-90 найти производные функций:

75   а) ;

   б) y = (esinx + 3x)3;

   в) 5x2y2 – 10y + 4 = 0.

   В задачах 91-110 исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики.

   Исследование функции рекомендуется проводить по следующей схеме:

1) найти область определения функции;

2) исследовать функцию на непрерывность;

3) определить, является ли данная функция чётной, нечётной;

4) найти интервалы монотонности функции и точки её экстремума;

5) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба;

6) найти асимптоты графика функции.

95   y = (x + 2)2 / (x2 + 4).

   В задачах 131-150 найти указанные неопределённые интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием:

135   а) ;

   б) ;

   в) .

   В задачах 151-160 вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертёж.

155   у = – x2 + 1, у = x – 1.

   В задачах 161-165 вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертёж.

165   x2/16 + y2/9 = 1.

   В задачах 171-190 найти общее решение дифференциаль¬ных уравнений первого порядка:

175   (ex + 2) y` = yex.

   В задачах 191-200 найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее указанным начальным условиям:

195   y``+ 6y` + 9y = 100 sinx,   у(0) = 0, y`(0) = 1.

   В задачах 201-220 дан степенной ряд. Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.

205    .

   245. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,6, вторым – 0,7, третьим – 0,8. Найти вероятность того, что при одном выстреле попадут в цель:

а) все три стрелка;

б) попадёт хотя бы один из них.

   В задачах 271-280 задан закон распределения дискретной случайной величины X (в первой строке указаны возмож¬ные значения величины X, во второй строке даны вероятности p этих значений).

   Найти:

1) математическое ожидание MX;

2) дисперсию DX;

3) среднее квадратическое отклонение s.

275   X   42   41   43   45

   p   0,3   0,3   0,2   0,2

   В задачах 281-290 случайная величина X задана интегральной функцией распределения F(x). Найти:

1) дифференциальную функцию распределения f(x);

2) математическое ожидание MX;

3) дисперсию DX.   

285      0   при x < 4,

   F(x) =   x - 4   при 4 <= x <= 5,

      1   при x > 5.