Высшая математика ТулГУ Вариант №1 (15 заданий)

!!! Если нужны другие варианты этой работы - пишите в личку !!!

Тульский Государственный Университет

Высшая математика

Контрольная работа

Вариант №1 (15 заданий)

Задания №№: 21, 31, 41, 51, 71, 91, 131, 151, 161, 171, 191, 201, 241, 271, 281

В задачах 21-30 даны координаты точек A, B, C. Требуется:

1) записать векторы AB и AC в системе орт и найти модули этих векторов;

2) найти угол между векторами AB и AC;

3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору AB.

21 A(7; -4; 1), B(12; -3; 1), C(10; 1; 5).

В задачах 31-40 даны векторы a1, a2, a3, b. Показать, что векторы a1, a2, a3 образуют базис трёхмерного пространства и найти координаты вектора b в этом базисе.

31 a1 {2; 1; 3}, a2 {3; -1; 1}, a3 {1; -1; -2}, b {7; 0; 7}.

В задачах 41-50 систему уравнений записать в матричной форме и решить её с помощью обратной матрицы:

41

В задачах 51-70 найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):

51 а) ;

б) ;

в) ;

г) .

В задачах 71-90 найти производные функций:

71 а) y = x tgx + ln cosx + e5x;

б) ;

в) x3y3 – 2xy + 3 = 0.

В задачах 91-110 исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики.

Исследование функции рекомендуется проводить по следующей схеме:

1) найти область определения функции;

2) исследовать функцию на непрерывность;

3) определить, является ли данная функция чётной, нечётной;

4) найти интервалы монотонности функции и точки её экстремума;

5) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба;

6) найти асимптоты графика функции.

91 y = 2/(1 + x2).

В задачах 131-150 найти указанные неопределённые интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием:

131 а) ;

б) ;

в) .

В задачах 151-160 вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертёж.

151 у = x3, у = Корень(x).

В задачах 161-165 вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной указанными линиями (сделать чертёж).

161 y2 = x, y = x2.

В задачах 171-190 найти общее решение дифференциаль¬ных уравнений первого порядка:

171 (e2x + 1) dy + ye2x dx = 0.

В задачах 191-200 найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее указанным начальным условиям:

191 y``+ y` – 2y = 6x2, y(0) = – 4, y`(0) = – 1.

В задачах 201-220 дан степенной ряд. Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.

201 .

241. В читальном зале имеется 6 учебников по теории ве¬роятностей, из которых три в мягком переплёте. Библиотекарь взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в мягком переплёте.

В задачах 271-280 задан закон распределения дискретной случайной величины X (в первой строке указаны возмож¬ные значения величины X, во второй строке даны вероятности p этих значений).

Найти:

1) математическое ожидание MX;

2) дисперсию DX;

3) среднее квадратическое отклонение s.

271 X 8 4 6 5

p 0,1 0,3 0,2 0,4

В задачах 281-290 случайная величина X задана интегральной функцией распределения F(x). Найти:

1) дифференциальную функцию распределения f(x);

2) математическое ожидание MX;

3) дисперсию DX.

281 0 при x < 0,

F(x) = x2 при 0 <= x <= 1,

1 при x > 1.