Ргр 2 и контрольные вопросы

ПОЛНОЕ ЗАДАНИЕ В ДЕМО ФАЙЛЕ,

ЧАСТЬ ДЛЯ ПОИСКА ДУБЛИРУЮ НИЖЕ

РГР № 1 (0,138 ЗЕ)

Пределы: а) Раскрытие неопределенностей

б) Непрерывность. Точки разрыва

Срок выполнения 1-2 недели семестра

Содержание работы

1. Раскрытие неопределенности 0/0,/

2. Порядок малости бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно

малые.

3. Раскрытие неопределенности  1

4. Определение характера точек разрыва функции

5. Контрольные вопросы

Литература [1,2,8,14,17]

1. Раскрыть неопределенности

x

x

x

3 3 8 1

lim

+

→

,

x

x

x

4 1

lim

2 +

→

,

x

x

x

4 1

lim

2 +

→−

( 2)! ( 1)1

( 2)! ( 1)!

lim

+ − +

+ + +

→ n n

n n

n

,

x x

x x

x −

−

→ −

+

2 2

2 2

lim ,

1

4 5

lim

2

2

1 −

+ −

→ x

x x

x









− +

+

→ − 3 2

1

2

2

lim

x 2 x x2 x2 x

,

x

x

x − +

− −

→ 3 4

6 1

lim

5

.

2. Раскрыть неопределенности, используя эквивалентные бесконечно

малые функции

1 1

lim

→0 + x −

x

x

,

x

x

x

arcsin 2

lim

→0

,

exp(2 ) 1

4

lim

→0 x −

arctg x

x

,

1 1

ln(1 3 )

lim

0 + −

+

→ x

x

x

,

x x

x

x sin 2

1 cos3

lim

0

−

→

3. Раскрыть неопределенности

x

x x

x









+

+

→ 2 3

1

lim ,

x

x x

x









+

+

→ 2 3

2 1

lim , ( ) 3

1

3

0

lim 1 2 x

x

− x

→

, ( ) ctg x

x

x

2

lim cos6

→0

( )ctgx

x

lim ln(e x)

0

+

→

, ( ) tg x

x

x

2

lim sin

2



→

, x( x x)

x

lim ln(2 + ) − ln

→

4. По формулам функций схематически построить их графики. В точках

разрыва вычислить односторонние пределы и указать характер точек

разрыва:

1/ | 4 3| 2 y = x − x + exp( 1/ ) 2 y = − x z =1/ ln(t) y = arctg(1/ t)

arctg(1/ ) 2 y = t ,

5

( 2)

1

2

+

 





 





−

=

x

x

th

y ,

3

2

2

1

−

=

−

x

y

x

.

Контрольные вопросы

1. Свойства функций: четность, периодичность, монотонность, нули функции.

2. Свойства и графики основных элементарных функций: степенная, показательная ,

логарифмическая, тригонометрические функции , обратные тригонометрические

функции, гиперболические функции, обратные гиперболические функции

3. Дайте определение обратной функции. Для указанных функций найти выражение для

обратной функции. Построить в одних координатных осях графики прямой и обратной

функций: 









= 

2

2 , 0,



y ctg x x , y arctgx

2

1

= , y = thx , y = shx ,

y = chx , y = cthx

4. Установите соответствие между периодической функцией и значением

ее периода

1.

2.

3.

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:

A)

B) 4

C)

D) 5

E) 2

5. Первый замечательный предел

6. Второй замечательный предел

7. Приведите примеры основных элементарных функций, которые являются четными

8. Приведите примеры основных элементарных функций, которые являются нечетными

9. Приведите примеры основных элементарных функций, которые являются бесконечно

малыми в окрестности нуля.

10. Приведите примеры основных элементарных функций, которые являются

ограниченными на бесконечности

11. Приведите примеры основных элементарных функций, которые являются бесконечно

большими в окрестности нуля

12. Опишите основные свойства функции по формуле:

1

( 2)( 3)

4 −

− −

=

x

x x

y ,

1

1

2

2

+

−

=

x

x

y ,

1 4

3

−

=

x

x

y , ln( 4) 2 y = x − , y x 2 = sin , exp( ) 2 y = −x

13. Что такое неопределенности? Перечислите основные неопределенности.

14. Какие способы раскрытия неопределенности 







0

0

при условии x→a Вы знаете ?

Приведите примеры.

15. Приведите пример раскрытия неопределенности 











при условии x→

16. Дайте определение функции, непрерывной в точке

17. Дайте определение точки разрыва первого рода. Приведите примеры

18. Приведите примеры точки устранимого разрыва

19. Дайте определение точки разрыва второго рода. Приведите примеры.

20. Установите соответствие между пределом и его значением

1.

2.

3.

4.

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:

A) 2 B) 1

C) 0 D)

E)

F) ∞

РГР № 2 (0,138 ЗЕ)

Техника дифференцирования

Срок выполнения 3-4 недели семестра

Содержание работы

1. Таблица производных. Производные арифметических операций

2. Производная сложной функции

3. Производная функции, заданной неявно

4. Производная функции, заданной параметрически

5. Дифференциал. Применение к приближенным вычислениям

6. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной

7. Механический смысл производной

8. Контрольные вопросы

Литература [1,2,8 ,17]

1. Вычислить производные, используя линейность операции

дифференцирования и правила дифференцирования произведения и

частного:

arctg( ) 2 y = z z y = (t +1) tg(t) y = 4sin(x) cos(x)

y = exp(t) sin (t) 2 y = x x x 2 exp( ) ln( ) y

t t

t t

=

+

−

sin( ) cos( )

sin( ) cos( )

y

z z

z z

=

− +

+ +

2

2

5 6

7

y

t

t

=

2 + 3

y

x

x

=

arcsin( )

arccos( )

y = arctg(x) + x + arcctg(x) ( 7 8)exp( ) 2 y = x − x + −x y = arcsin(x)arccos(x)

2. Вычислить производные, используя правило дифференцирования

сложной функции (выписывать цепочку промежуточных

переменных):

D y = (ax + b) 3 5 y(t) = (3t −8) y = (1− x)100

y = (1− z )(z + 1) 3 3 3 x(t) = Acos(t +) y = cos(1− z)ctg(z −1)

y = exp(−t) ln(2t +1) y = exp(−z / ) 2 2 ctg( ) tg (2 ) 2 2 y = x − x

y x x = 2 4 log ( ) y = arctg(exp(−t)) y = ln(sin(z))

y = ln(ln(ln(x))) y

x

x

=

−

+



 



 

ln

1

1

1 tg( )

cos ( )

1 ctg( )

sin ( ) 2 2

t

t

t

t

y

+

+

+

=

tg( )

tg ( )

2

2

x

x

y = y z

z

= +



 



 

1

12

y = 2x + x + 1 2 2

y = ln(z + 1+ z ) 2 y = t + t + t + t y = t{sin(ln(t)) + cos(ln(t))}

3

3

3

1

1

x

x

y

+

−

= y = cos(2arccos(x)) y = ln(| sin(x) |)

7 / ln( x) y = x arcsin( / ) 2 2 2 y = x a − x + a x a

3. Найти производную функции, заданной неявно:

а)exp xsin y −exp y cos x = 0; б) y x x = y

4. Найти производную функции, заданной параметрически:

а) ; (0, )

ln(1 ) 2

 

  

= −

= +

t

y t arctgt

x t

; б) ; (1, )

1

1

3

3

 







= −

= −

t

y t

x t

5. Применение дифференциала для приближенных вычислений

а) Найдите приближенное выражение для приращения объема V при

изменении давления на p при условии постоянства температуры T ,

если V, p,T связаны законом pV = RT, R = const

б) Вычислить приближенно значение функции при помощи

дифференциала y = arccos(ln x), x = 0,98

6. Геометрический смысл производной

а) Под каким углом график функции y = (exp x) −1 пересекает ось

абсцисс?

б) В каких точках и под каким углом пересекаются графики функций

3

1 y = x − x и y 5x 2 =

в) Напишите уравнение касательной к кривой в указанной точке

4 6 0, (1;2) 4 4 y − x − xy = M

6. Физический смысл производной:

а) Точка движется по параболе 2 y = 8x − x так, что ее абсцисса

изменяется по закону x = t ( x -измеряется в метрах, а t - в

секундах). Какова скорость изменения ординаты через 9 сек после

начала движения?

б) В какой момент t[0; 2 ] надо устранить действие сил, чтобы

точка ,участвующая в гармоническом колебании x = cos3t , продолжала

двигаться равномерно со скоростью v = 3/ 2

Контрольные вопросы

1. Дайте определение дифференцируемой функции и производной в точке

2. В чем состоит геометрический смысл производной?

3. В чем состоит физический смысл производной?

4. Как связаны производные прямой и обратной функции?

5. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции

6. На рисунке изображен график функции , заданной на интервале .

Тогда число интервалов, на которых касательная к графику функции

имеет положительный угловой коэффициент, равно …

7.

РГР № 3 (0,417 ЗЕ)

Основные методы интегрирования

Срок выполнения 4-5-6-7-8 недели

Содержание работы

1. Таблица интегралов

2. Замена переменной

3. Интегрирование дробно-рациональных и иррациональных функций

4. Интегрирование по частям

5. Интегрирование тригонометрических и гиперболических функций.

Тригонометрические и гиперболические подстановки

Литература: [1, 2, 9 ,17]

1. Найти интегралы, выполнив тождественные преобразования, используя

линейность операции интегрирования

 ctg (x)dx 2

(2 )2 −



x

x x

dx  sin (x / 2)dx 2  cos (x / 2)dx 2

2. Найти интегралы, пользуясь подведением производной под знак

дифференциала  f (t(x))  t(x)dx =  f (t)dt :

1

1 2 −



x x

dx

arcsin( )

2

3 2

x

x

dx

+  e e dx x x  cos( )

x

x

dx

2

3 4 (1+ ) 

3

1 9

x

x

dx

−



1

4 x x

dx

ln ( ) 

( / )

( )

x x

x x x

dx

3 2

4 3 5

3 1 4

4 3

+ −

+ − +   x x + 2dx 3 4

 +

dx

x

x

3 (1 cos( ))

sin( )



x x +1

dx

 sin(2x)  cos(3x)  dx dx

x

x

 sin ( )

cos ( )

2

4

3. Найти интегралы, разбивая правильные дроби на сумму простейших

дробей или выделяя целую часть и остаток для неправильных дробей

1

(x 1)(2x 3)

dx

+ + 

x

x

dx

2

2

1

1

+

− 

(x )

x

dx

+

+ 

1

1

2

2  +

dx

x

x

1

5

4. Найти интегралы при помощи замены с выделением полного квадрата

(можно использовать формулы ( / 2 ) ( / 4 ) 2 2 2 ax + bx + c = a x + b a + c −b a ,

t = x +b/ 2a ):

 + +

+

dx

x x

x

2 2

5

2 

− −

−

dx

x x

x

2 4 3

4

1

2 5 2 x x

dx

+ +



5. Найти интегралы, преобразуя подынтегральные функции с

использованием степенных подстановок



−

,

3

dx

x x

x



+

,

3 3 2 x x

dx

,

1 4 

x x −

dx

6. Найти интегралы, используя формулу интегрирования произведения

( интегрирование по частям)  u(x)v(x)dx = u(x)v(x) −  u(x)v(x)dx.

 x exp(5x)dx  x cos(2x)dx x x dx 2  ln( )

 x exp(x)dx 2

 xctg xdx 2

 xdx 2 arcsin

 arcsin(4x)dx  arctg(3x)dx  xdx 2 ln

 e x dx x cos(3 ) 2

ln(1 ) 2  + x dx 

+

dx

x

x

1

arcsin( )



+

dx

x

x x

2 1

arctg( )

x x

x

dx



−



arcsin( )

1 2

7. Найти интегралы, комбинируя рассмотренные выше элементарные

приемы:

x arccos(x )dx 2  exp(x ln(x))dx 2  +  ( sin(x) + cos(x)) dx 2

(8 11)

5 2 2

x

x x

dx

−

+ −



( )

( )

x x

x

dx

2

2 3

1

1

− +

+



1

1 1 1 2 ( + ) − ln ( + )



x x

dx

sin ( )

cos ( )

4

6

x

x

 dx

x

x

dx

1 4 3 +



cos( x )

x

 dx

8. Проинтегрировать дробно-рациональные дроби:

 − + −

+ −

dx

x x x

x x

( 1)( 3)( 4)

2 41 91 2

,

x

x x

dx

2

2 2 ( + 2) ( + 4) 

( )

( )

x

x x

dx

2

2

1

4

+

+  

−

dx

x

x

1 4

9

9. Проинтегрировать тригонометрические функции:

 sin (x)  cos (x)  dx 3 4

cos ( ) 4  x  dx   dx tg (x) 5

1

2 2 sin (x) cos (x)

dx

    dx ctg (x) 4

 dx

x

x

sin ( )

cos ( )

5

3

1

1+  cos(x)

dx

1

sin(x) cos(x)

dx

+   dx

sin (x)

1

3

10. Проинтегрировать гиперболические функции:

 +

dx

3 sh (x)

1

2  +

dx

1 ch(x)

1

 +

dx

x x 8 (sh( ) ch( ))

1

11. Найти интегралы, избавляясь от квадратных корней при помощи

тригонометрических или гиперболических подстановок:

x x dx 2  − 4 + 3  x 2x x dx 2  −

x

x

dx

4

2 1−

 

+ 2 3 (1 x )

dx

12. Найти интегралы, комбинируя различные приемы:

1

1 6 x x

dx

−



1

(1+ )3  x x

dx e dx x  arccos

 dx

x

x

2

arccos( )



− −

dx

x x

x x

2 2 ( 1) 1

arcsin( )

 2 x

arctgxdx

РГР № 4 (0,278 ЗЕ)

Применение определенного интеграла к решению задач

геометрии и физики

Срок выполнения 6-7-8 недели

Содержание работы

1. Вычисление площади плоской фигуры.

2. Вычисление объема тела вращения.

3. Вычисление длины дуги.

4. Вычисление работы, давления, момента инерции.

5. Оценки определенных интегралов. Приближенное вычисление

определенных интегралов

6. Несобственные интегралы

7. Контрольные вопросы

Литература [1,2,9,17]

1. Вычислить определенные интегралы

а) tgx dx 4

/ 3

/ 6

 ( )





, б) dx

x x

x x



+ +

+ 1

0

2

2

( 1)( 1)

3

, в) 

+

3

1/ 3

2 3 (1 x )

dx

, г)  +

/ 2

/ 3 3 cos



 x

dx

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривыми:

а)

2 y = 4 − x , 2 0 2 x + x + y = , 2 0 2 x − x + y =

б) y = arctgx, y = arcctgx, x = − 3

в) y = x − 4; y = 4 − x; x = 8

2. Найдите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной

линиями, вокруг заданной оси:

1) , , 0

2

= − x + y = a a 

a

x

y a вокруг оси 0y

2) 4 , 0 2 y = − x y = вокруг оси x = 3

3. Найдите длину дуги кривой:

2 arcsin , 1/ 4, 1 2 y = + x + x − x x

4.

а). Определите работу, затрачиваемую на выкачивание жидкости плотности

 из емкости в форме полушара радиуса R

б). Определите давление жидкости плотности  на боковые стенки

цилиндрического сосуда цилиндрической формы радиуса R

в). Найдите момент инерции прямоугольного треугольника с катетами a и b

при вращении треугольника вокруг одного из катетов

5. Приближенное вычисление определенных интегралов

а) Оценить интеграл  −

2

0

2 exp( x )dx

б) Найти приближенно при n = 6 (вычислять с четырьмя знаками после

запятой) интеграл по формуле прямоугольников, по формуле трапеций, по

формуле Симпсона

dx

x

x



1

0

sin

7.Вычислить несобственные интегралы или исследовать их на сходимость





+ 1

8

3

1 x

x dx

, 



2

4 ln

e

x x

dx

, 



1 +

3 10

2

4 x

x dx

,



e

x x

dx

1

3 ln

,  −

1

0

x sin x

dx

, 



+









+

−

1 1

5

3

x x

dx

x

x

arctg

Контрольные вопросы

1. Дайте определение понятия « определенный интеграл». Условие существования

определенного интеграла (интегрируемость функции)

2. Геометрический смысл определенного интеграла

3. Интеграл с переменным верхним пределом.

4. Формула Ньютона-Лейбница

5. Оценка определенного интеграла. Формула среднего значения

6. Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования

7. Несобственный интеграл от неограниченных функций

8. Признак сходимости несобственных интегралов

9. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона

10. На рисунке изображен график функции и даны числа -

площади указанных фигур. Тогда интеграл равен …

11. Если и то интеграл равен …

12. Ненулевая функция является нечетной на отрезке .

Тогда равен…

13. Определенный интеграл равен…

14. Определенный интеграл равен…

15. Мера плоского множества, изображенного на рис. равна