💯 Алгебра [Тема 1-5] — ответы на тесты Синергия / МОИ / МТИ / МосАП

Алгебра > Итоговый тест / Компетентностный тест

• правильные ответы на вопросы из тестов по данной дисциплине
• вопросы отсортированы в лексикографическом порядке

Алгебра

• Введение в курс
• Тема 1. Элементы теории множеств и математической логики
• Тема 2. Комплексные числа
• Тема 3. Основы общей теории групп
• Тема 4. Кольца и поля
• Тема 5. Введение в теорию многочленов
• Анкета обратной связи
• Итоговая аттестация

Говоря о сложении комплексных чисел, можно утверждать, что складываются … части

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• только вещественные
• только мнимые
• и вещественные, и мнимые

Дано кольцо целых чисел. Проверьте, если это возможно, является ли это кольцо полем.

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• Данное кольцо является полем.
• Данное кольцо не является полем.
• Невозможно определить, является ли данное кольцо полем.

Дано комплексное число z = (2 + 3i). Возведите в квадрат это комплексное число.

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 5 + 12i
• −5 − 12i
• −5 + 12i

Дано комплексное число z = − 1 − i. Представьте это комплексное число в тригонометрической форме.

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• √2 ⋅ (cos(5π/4) + isin(5π/4))
• √2 ⋅ (cos(5π/4) − isin(5π/4))
• −√2 ⋅ (cos(5π/4) + isin(5π/4))

Дано множество комплексных чисел. Проверьте, если это возможно, является ли кольцом это множество.

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• Данное множество является кольцом.
• Данное множество не является кольцом.
• Невозможно определить, является ли данное множество кольцом.

Дано отношение двух многочленов (3xy⁴ + 3x⁴y) / (5xy³ − 5x³y). Найдите значение этого отношения при y = 1,6, x = −1,4.

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 1,453
• 1,562
• 1,352

Даны многочлены P(x) = 3x⁴ − x³ + 2x² − 5x − 7 и Q(x) = x² + x − 4. Найдите частное и остаток от деления первого многочлена на второй. Результат деления представьте в виде многочлена.

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 3x² − 4x + 18 − (39x − 65) / (x² + x − 4)
• 3x² + 4x − 18 + (39x − 65) / (x² + x − 4)
• 3x² + 4x + 18 = (39x − 65) / (x² + x − 4)

Зная, что даны высказывания А – идет дождь и B – дует ветер, соотнесите логические операции и получившиеся высказывания:

Тип ответа: Сопоставление

• A. A & B
• B. A ∨ B
• C. A → B
• D. идет дождь и дует ветер
• E. идет дождь или дует ветер
• F. если идет дождь, то дует ветер

К кольцам относится такое свойство, как …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• ассоциативность умножения
• коммутативность деления
• дистрибутивность сложения относительно умножения

Квантор всеобщности (∀) – это символ, обозначающий …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• «существует»
• «для любого»
• «равенство»

Многочлен нулевой степени называется …

Тип ответа: Текcтовый ответ

Множество, содержащее только общие элементы двух множеств, называется … данных множеств

Тип ответа: Текcтовый ответ

Операция * задана следующим образом: x * y = x^y. Можно ли определить, является ли операция *, на множестве натуральных чисел ассоциативной

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• Да, данная операция является ассоциативной на множестве натуральных чисел.
• Нет, данная операция не является ассоциативной на множестве натуральных чисел.
• Исходя из условий задачи, это невозможно определить.

Операция * определена следующим образом: a * b = ab – a – b + 2. Можно ли определить, является ли множество G группой с операцией *, если G = Q {1}?

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• Нет, (G, «*») не является группой.
• Да, (G, «*») является группой.
• Исходя из условий задачи, это невозможно установить.

Операция, при которой действительная и мнимая части комплексного числа меняются местами и знак мнимой части меняется на противоположный, – это …

Тип ответа: Текcтовый ответ

Опрос 100 студентов дал следующие результаты о количестве студентов, изучающих различные иностранные языки: испанский – 28; немецкий – 30; французский – 42; испанский и немецкий – 8; испанский и французский – 10; немецкий и французский – 5; все три языка – 3. Сколько студентов изучает немецкий язык в том и только в том случае, если они изучают французский язык?

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• 36 студентов.
• 37 студентов.
• 38 студентов.

Отрицание высказывания «для любого x, если P(x), то Q(x)» означает, что …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• существует x, для которого не выполняется P(x) или Q(x)
• существует x, для которого выполняется P(x) и не выполняется Q(x)
• для любого x выполняется P(x) и Q(x)

Порядок группы – это … элементов в группе

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• количество
• среднее значение
• сумма

Приведено высказывание: «Если Василий глуп, а Иван не будет победителем, то Иван не умен». Найдите для этого высказывания логическую формулу. Воспользуйтесь буквенными обозначениями: X для «Иван умен», Y для «Василий глуп», Z для «Иван будет победителем».

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• (Y ∧ ¬Z) ⟶ ¬X
• (Y ∧ ¬X) ⟶ ¬Z
• (X ∧ ¬Z) ⟶ ¬Y

Расположите математические выражения таких свойств группы, как ассоциативность, существование нейтрального элемента, существование обратного элемента (в порядке от первого до третьего свойства):

Тип ответа: Сортировка

• 1 A · (B · C) = (A · B) · C
• 2 AE = EA = A
• 3 AA⁻¹ = A⁻¹A = E

Расположите определения понятий «произведение групп», «конечная группа», «порождающий элемент» в том порядке, в котором эти понятия приведены (от первого к третьему):

Тип ответа: Сортировка

• 1 группа, образованная парами элементов из двух разных групп, с операцией, определенной в соответствии с заданными правилами
• 2 группа, содержащая конечное количество элементов
• 3 элемент, который при его возведении в степень порождает всю группу

Расположите определения понятий «тело», «коммутативное кольцо», «поле» в том порядке, в котором эти понятия приведены (от первого к третьему):

Тип ответа: Сортировка

• 1 ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент имеет обратный
• 2 кольцо, в котором операция умножения коммутативна
• 3 коммутативное тело

Расположите формулы в порядке «Мультипликативные свойства нуля», «Правило знаков при умножении», «Дистрибутивность при вычитании»:

Тип ответа: Сортировка

• 1 a ⋅ 0 = 0 ⋅ a = 0
• 2 (−a) ⋅ b = a ⋅ (−b) = −(a ⋅ b)
• 3 (a − b) ⋅ c = a ⋅ c − b ⋅ c; a ⋅ (b − c) = a ⋅ b − a ⋅ c

Символ ∧ в математической логике соответствует союзу «…» в русском языке

Тип ответа: Текcтовый ответ

Символ ∨ в математической логике соответствует союзу «…» в русском языке

Тип ответа: Текcтовый ответ

Соотнесите действия над многочленами с их результатами:

Тип ответа: Сопоставление

• A. (3x² − 2x + 1) − (−x² + 3x − 2)
• B. (4x³ − 2x² + x) ⋅ 3
• C. (2x³ − 3x² + 4x) + (−5x³ + 2x² − x)
• D. 4x² − 5x + 3
• E. 12x³ − 6x² + 3x
• F. −3x³ − x² + 3x

Соотнесите многочлены с их разложениями на множители:

Тип ответа: Сопоставление

• A. 7x³ + 7x² + 14x
• B. -x⁵ + x⁴ – 4x + 4
• C. x³ – 11x² + 12
• D. (x^2+x+2)7x
• E. -(x – 1) · (x2 + 2 – 2x) · (x2 + 2 + 2x)
• F. (x + 1) · (x + 6 + 2√6) · (x + 6 – 2√6)

Соотнесите понятие с его определением:

Тип ответа: Сопоставление

• A. Коммутативность
• B. Подгруппа
• C. Гомоморфизм
• D. свойство операции, при котором результат операции не зависит от порядка элементов
• E. подмножество группы, которое само является группой относительно той же операции
• F. отображение между двумя группами, сохраняющее операцию

Соотнесите понятие с его определением:

Тип ответа: Сопоставление

• A. Нейтральный элемент
• B. Обратный элемент
• C. Противоположный элемент
• D. элемент, который при выполнении операции с другим элементом не меняет его
• E. элемент, который при выполнении операции с другим элементом дает нейтральный элемент
• F. элемент, который при выполнении операции с другим элементом дает нулевой эzемент

Соотнесите форму комплексного числа с ее записью:

Тип ответа: Сопоставление

• A. Тригонометрическая форма
• B. Алгебраическая форма
• C. Показательная форма
• D. r(cosθ + isinθ)
• E. a + bi
• F. re^iφ

Сюръективный гомоморфизм называется …

Тип ответа: Текcтовый ответ

Упорядочьте комплексные числа по возрастанию действительной части

Тип ответа: Сортировка

• 1 −1 + 5i
• 2 2 − 3i
• 3 4 + 2i

Упорядочьте комплексные числа по возрастанию модуля:

Тип ответа: Сортировка

• 1 4i
• 2 −3 − 3i
• 3 2 + 2i

Форма записи комплексного числа в виде a + bi называется … формой

Тип ответа: Текcтовый ответ

Формула … позволяет возводить комплексные числа в степень

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• Эйлера
• Муавра
• Гаусса

Циклическая группа – это группа, …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• содержащая только один элемент
• в которой каждый элемент можно получить путем возведения в степень другого элемента
• в которой операция коммутативна

Что означает символ ¬ в математической логике – это логическое …

Тип ответа: Одиночный выбор • с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

• «И» (и оба утверждения истинны)
• «ИЛИ» (хотя бы одно из утверждений истинно)
• «НЕ» (отрицание утверждения)

Эндоморфизм, являющийся изоморфизмом, называется …

Тип ответа: Текcтовый ответ