ТГУ Росдистант Вычислительная математика (10 вариант) Практические задания 1-6 (2024)

Тольяттинский государственный университет (Росдистант), ТГУ. Вычислительная математика (9568). Практические задания 1-6. Вариант 10. Решение.

Тема 1. Погрешности вычислений. Вычисление значений функций

Задание 1.1. Вычислить значение функции и, ее предельные абсолютную и относительную погрешности, если известны погрешности ее аргументов. Найти количество верных значащих цифр функции и (в широком и узком смысле). Параметры m и k заданы точно. Данные брать из табл. 2 согласно варианту.

Задание 1.2. Пользуясь разложением в степенной ряд, составить с указанной точностью до 10^(-5) таблицу значений функции u. Данные брать из табл. 3 согласно варианту.

Задание 1.3. Пользуясь методом итераций, составить таблицу значений функции и с точностью ε. Данные брать из табл. 4 согласно варианту.

Практическое задание 2

Тема 2. Численные методы линейной алгебры

Задание 2.1. Методом Гаусса решить систему линейных алгебраических уравнений с точностью до 0,01.

Задание 2.2. С помощью метода Гаусса найти обратную матрицу для заданной матрицы A.

Задание 2.3.

Решить систему линейных уравнений итерационными методами с точностью 0,01 при заданном начальном приближении (0,7m; 1; 2; 0,5), где m – вариант:

а) методом простой итерации;

б) методом Зейделя

Практическое задание 3

Тема 3. Численные методы решения нелинейных уравнений и систем

Задание 3.1. Определить корни уравнения графически и уточнить один из них итерационными методами с точностью 0,001:

а) методом деления отрезка пополам;

б) методом Ньютона (метод касательных);

в) методом простой итерации.

Задание 3.2. Решить систему нелинейных уравнений итерационными методами с точностью 0,001:

а) методом Ньютона;

б) методом простых итераций;

в) методом Зейделя.

Практическое задание 4

Тема 4. Интерполирование и численное дифференцирование

Задание 4.1. Дана таблица значений функции y=sin⁡x (табл. 2). Пользуясь первой и второй формулами Ньютона при n = 2 (квадратичная интерполяция), вычислить sin⁡x для данного значения аргумента x согласно варианту (табл. 3) и указать оценку остаточного члена R_2.

Задание 4.2. Функции f(x),g(x) и h(x) заданы табл. 4а – 4в. Пользуясь первой или второй интерполяционными формулами Ньютона, найти значения этих функций для указанного значения аргумента х согласно варианту (табл. 5).

Задание 4.3. Функции f(x),g(x) и h(x) заданы табл. 6а – 6в. Пользуясь интерполяционными формулами Гаусса, Стирлинга или Бесселя, найти значения этих функций для указанного значения аргумента х согласно варианту (табл. 7).

Задание 4.4. Построить интерполяционный полином Лагранжа по заданным точкам (табл. 8).

Задание 4.5 Дана таблица значений функции y=f(x) (табл. 9, 11). С помощью интерполяционных формул Ньютона или Стирлинга найти значения производных y^' и y'' в указанных точках (табл. 10, 12).

Практическое задание 5

Тема 5. Численное интегрирование

Задание 5.1. Вычислить интеграл, при заданном числе интервалов n, используя:

1) метод левых прямоугольников;

2) метод правых прямоугольников;

3) метод средних прямоугольников;

4) метод трапеций;

5) метод Симпсона (парабол);

6) метод Ньютона (правило трех восьмых). Для данного метода отрезок интегрирования разбить на 9 частей.

Задание 5.2. Вычислить интеграл по формуле трапеций с точностью до E=10^(-2).

Задание 5.3. Вычислить интеграл по формуле Симпсона с точностью до E=10^(-3).

Задание 5.4. Вычислить интеграл по формуле Гаусса при заданном числе интервалов n.

Практическое задание 6

Тема 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений и систем

Задание 6.1. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка на заданном отрезке:

1) методом Эйлера;

2) модифицированным методом Эйлера;

3) методом Рунге – Кутты.

Задание 6.2

1. Найти решение дифференциального уравнения второго порядка с заданными начальными условиями методом неопределенных коэффициентов.

2. Найти первые пять членов решения дифференциального уравнения второго порядка с заданными начальными условиями.