Решение заданий на стражировку Тинькофф

1 задание

Числовая последовательность а1, а2, , а100

задаётся так: для каждого натурального п =

1, 2, …, 100

an = n с вероятностью 1/2

an = + 1 с вероятностью 1/2

Найдите матожидание суммы всех членов этой

последовательности. В качестве ответа введите

натуральное число или несократимую дробь,

например: 1/2.

3 задание

На острове живут рыцари, которые всегда

говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут.

Однажды 80 жителей острова встали в клетки

прямоугольника 4 × 20. Каждый из них заявил:

«Среди моих соседей поровну рыцарей и

лжецов». Какое наибольшее количество

рыцарей могло быть среди этих

жителей? (Соседями называются люди,

находящиеся в соседних по стороне клетках; у

каждого человека не более 4 соседей.)

4 задание

Соревнования между 64 командами устроены

следующим образом. В начале каждой команде

случайным образом достаётся номер от 1 до 64

так, что любая перестановка чисел от 1 до 64

равновероятна. Затем соревнования проходят в

6 туров. В первом туре команда с номером 1

играет с командой номер 2, команда с номером

3 играет с командой номер 4 и так далее. Во

втором туре победитель из команд с номерами

1 и 2 играет с победителем из команд 3 и 4 и

т.д. В шестом туре (финале) победитель среди

первых 32 команд играет с победителем среди

последних 32 команд.

У каждой команды также есть рейтинг-

натуральное число от от 1 до 64 (у разных

команд разный рейтинг). Команда с меньшим

рейтингом всегда побеждает команду с

большим рейтингом. Найдите матожидание

номера тура, в котором вылетит команда с

рейтингом 2.

В качестве ответа введите натуральное число

или несократимую дробь, например: 1/2

5 задание

На доске отмечена точка Т. Алина может

нарисовать произвольный луч, выходящий из

этой точки. Рустам хочет нарисовать на доске к

прямых так, чтобы любой возможный луч

Алины пересекал хотя бы 7 прямых Рустама,

причём ни одна из прямых не должна

содержать точку Т. При каком наименьшем

натуральном к Рустам сможет добиться своей

цели?

6 задание

На числовой прямой отмечен отрезок [0; 10]

длиной 10 км. На этот отрезок сбрасывают двух

роботов в случайные точки. Каждый робот

после приземления выбирает одно из двух

равновероятных направлений и начинает

двигаться в этом направлении с постоянной

скоростью: первый робот со скоростью 4 км/ч, а

второй - 3 км/ч. Найдите вероятность того, что

роботы встретятся не более чем через час.

(Роботы выбирают направление случайно и

независимо друг от друга. Встреча может

произойти как на отрезке [0; 10], так и за его

пределами.)

В качестве ответа введите натуральное число

или правильную несократимую дробь,

например: 1/2

7 задание

На отрезке [3; 102] случайно выбирается

натуральное число т (все натуральные числа

на этом промежутке равновероятны). На доску

выписывают все натуральные числа, не

превосходящие т (каждое - по одному разу).

Пусть к - количество способов над одним из

чисел нарисовать крестик, над другим - нолик,

над третьим - звёздочку. Найдите

матожидание величины 100

k

В качестве ответа введите натуральное число

или несократимую дробь, например: 1/2