7 заданий

Задание 1. Используя заданную функцию f(x), которая выбирается из таблицы № 1 по числу N10, рассчитать 5 точек в интервале [а, b/4], которые использовать как узлы интерполяции. Выбрать точку х внутри этого интервала, в которой восстановить значение функции с помощью заданного метода интерполяции. Метод интерполяции выбрать по числу N4+1 из следующего общего списка методов интерполяции:

1. Метод Лагранжа;
2. Метод Ньютона;
3. Метод Чебышева;
4. Метод сплайнов.

Найти погрешность интерполяции путем сравнения значения х, полученного по интерполяционному полиному, и рассчитанного по f(x). Сделать выводы о том, устраивает полученный результат интерполяции по погрешности или нет. Если результат не устраивает, то следует наметить, что необходимо сделать, чтобы снизить погрешность.

Решение:

Задание 2. Используя полученные на предыдущем этапе точки построить аппроксимирующие полиномы второго порядка у = d2х2 + d1x + d0 методом наименьших квадратов при всех одинаковых весовых коэффициентах и при весовом коэффициенте в третьей точке в 3 раза большем, чем в остальных (т.е. при 

3=3). Получить среднеквадратичную погрешность аппроксимации, величину квадратичного критерия близости и расчётное значение y в третьей точке. Сравнить полученные результаты. Сделать выводы о том, устраивает ли полученное аппроксимирующее уравнение второго порядка по погрешности, сравнивая среднеквадратичную погрешность с заданной в обоих случаях, т.е. и при всех одинаковых весовых коэффициентах и при 

3=3. Если результат не утраивает, то, что делать в таком случае дальше. Также проанализировать, как повлияло введение весового коэффициента 

3=3 на точность аппроксимации в третьей точке (по величине абсолютной погрешности в этой точке) и на точность аппроксимации в целом, (по величине критерия близости).

Примечание: Задача аппроксимации, таким образом, выполняется дважды. В обоих случаях необходимо привести выводы всех расчётных формул и алгоритм расчёта, а не просто результат по готовому пакету программ.

Решение:

Задание 3. Дано уравнение f(х) = 0, Отделить корни в интервале [а, b] и уточнить один из них (любой на выбор) заданным методом. Разработать блок-схему алгоритма используемого метода. Результаты представить в виде таблиц (i - хi - f(хi)), и графиков в координатах хi - f(хi), где i – номер шага (итерации).

Отделение корней произвести аналитическим или графическим методом, если аналитический метод окажется затруднительным.

Уточнение корней произвести одним методом. Метод уточнения корней выбрать по числу N6+1 из общего списка методов:

1. Метод сканирования;
2. Метод деления отрезка пополам:
3. Метод хорд;
4. Метод Ньютона (касательных);
5. Комбинированный метод;
6. Метод параболической аппроксимации;
7. Метод простой итерации.

Решение:

Задание 4. По заданной функции f(х) в заданном интервале рассчитать интеграл 

 заданным методом (интервал [а, b] разбить не менее чем на шесть подынтервалов). Метод численного интегрирования выбрать по числу N4+1 из следующего общего списка методов:

1. Простейшие методы

2. Метод Симпсона

3. Метод Ньютона-Котеса

4. Методы Чебышева и Гаусса

Решение:

Задание 5. Задана система нелинейных уравнений:

f1(x1,x2) = 0,

f2(x1,x2) = 0

Уравнения системы выбираются из таблицы № 2 в зависимости от числа N10. Требуется решить эту систему заданным в соответствии с номером варианта методом. Метод выбрать по числу N2+1 из следующего списка:

1. Метод Ньютона-Рафсона
2. Метод итераций

Решение:

Задание 6. Для заданного алгебраического уравнения Рn(х) = 0 (уравнение составляется по данным таблицы № 3) найти:

6.1. Общее количество корней;

6.2. Количество положительных и отрицательных корней;

6.3. Предельные оценки и область существования корней;

6.4. Выделить один действительный корень.

Общее количество корней (задание 6.1) определить по наивысшей степени полинома в левой части алгебраического уравнения.

Количество положительных и отрицательных (отдельно) корней (задание 6.2) определить, применяя правило Декарта.

Предельные оценки и область существования корней алгебраического уравнения (задание 6.3) определить, применяя один из специальных методов, который выбирается по числу N4+1 из следующего списка:

1. Метод Лагранжа

2. Метод Ньютона

3. Метод кольца

4. Метод предельных значений

Выделение одного действительного корня (задание 6.4) произвести по методу уточнения действительно корня (один для всех вариантов метод). Если действительный корень выделить удаётся, то снизить порядок исходного алгебраического уравнения на единицу, применяя схему Горнера.

Решение:

Задание 7. Решить дифференциальное уравнение у' = f(х) + ху при заданных начальных условиях хо = а, у(хо)= у(а) = 0 в заданных пределах [a, b] с шагом не менее (b - а)/ 10. Метод численного решения дифференциального уравнения выбрать по числу N3+1 из следующего списка методов:

1. Методы Эйлера

2. Метод Рунге-Кутта

3. Метод Милна (из-за сложности данного метода студентам-заочникам разрешается заменить его любым другим).

Решение: