🔥 (ОмГУПС) Математика с элементами математического анализа. Вступительные испытания. Тест из 26-и вопросов (2022 год, июль, собраны 75 вопросов с правильными ответами)

2022 год, июль

Омский Государственный Университет Путей Сообщения

Математика с элементами математического анализа

Вступительные испытания. Тест

75 вопросов с правильными ответами

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Полный список вопросов представлен в демо-файлах!!!

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Вопросы расположены в алфавитном порядке:

 В каких из указанных четвертей должна быть взята α, чтобы выполнилось ctgα * cosα > 0 ?

Выберите один ответ:

II или III

I ИЛИ III

I или II

III или IV

В каких из указанных четвертей должна быть взята α, чтобы выполнялось sinα · cosα > 0 ?

Выберите один ответ:

II или III

I или II

I или IV

I или III

В каком ответе знаки cos870°, sin(-490)° и tg670° приведены в порядке их написания?

Выберите один ответ:

-,-,-

+,-,-

-,-,+

-,+,-

Велосипедист выехал из одного населенного пункта в другой и вернулся обратно. На рисунке изображен график движения велосипедиста. Определите его среднюю скорость за первые 3 часа движения

Выберите один ответ:

1. 6 км/ч

2. 2 км/ч

3. 4 км/ч

4. 8 км/ч

Вычислите

√256 + ³√343

Выберите один ответ:

1. 23

2. 21

3. 25

4. 32

Вычислите:

sin² π/8 + cos² 3π/8 + sin² 5π/8 + cos² 7π/8.

Выберите один ответ:

1

2√2

4

2

Вычислите:

sin(arcsin√2/2 – arccos√2/2).

Выберите один ответ:

0

√2/2

√3/2

1

Вычислите значение выражения:

log⁸√13 √13.

Ответ:           

Вычислите:

(3√125 – 2√45) : √5 : 0,3.

Ответ:            

Вычислить предел Ответ представить в виде десятичной дроби с двумя знаками после запятой, десятичный разделитель – «запятая»

lim(x→–2) (3x² + 5x – 2) / (x² – 4)

Ответ:           

Вычислить предел

lim(x→1) (5x² – 4x – 1) / (x² – 1)

Ответ:           

Вычислить предел

lim(x→2) (x² – 4) / (x² – 3x + 2)

Ответ:           

Вычислить предел

lim(x→5) (x² – 25) / (x² – 8x + 15)

Ответ:           

Заводу поступил срочный заказ: изготовить за ночь детали определённого вида. Заказчик принял на себя обязательства заплатить за каждую изготовленную деталь по 500 рублей. В распоряжении завода имеются три бригады, каждая из которых состоит из специалистов и учеников. Состав бригад приведён в таблице. Один специалист за ночь изготавливает 20 деталей, а ученик — 7 деталей. Завод в ночь может выставить для работы только одну бригаду. В результате решения руководства завода в ночь вышла работать бригада, которая принесёт заводу наибольшую выручку. Сколько тысяч рублей заплатит заказчик заводу за изготовленные ночью детали?

Ответ:           

Какому промежутку принадлежит произведение всех различных корней уравнения

3x² · 3² = 9(x+2)/2

Выберите один ответ:

1. (–2; –1]

2. (–3; –1,5]

3. (4; 6]

4. [0; 1,1]

Косинус суммы двух углов треугольника равен -1/3. Найдите косинус третьего угла.

Выберите один ответ:

π/3

2/3

1/3

-2/3

Кристина задумала трёхзначное натуральное число.

Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Выберите один ответ:

11

10

12

72

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 1/6 t² + 5t + 28 (где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость равна 6 м/с?

Ответ:            

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 1/4 t³ + 2t² – 6t + 20 (где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 8 с

Ответ:           

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = – 1/3 t³ + 2t² + 5t + 13 (где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 3 с

Ответ:            

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 1/3 t³ + 4t² + 3t + 20 (где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 4 с

Ответ:            

На доске написано более 20, но менее 30 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3,−3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 5, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -10.−10. Сколько чисел написано на доске?

Выберите один ответ:

20

30

25

15

На рисунке изображен график функции y = f(x), заданной на промежутке [-6;6]. Найдите промежуток, не содержащий ни одного решения неравенства f(x) > 0.

Выберите один ответ:

1. (–3; 6)

2. [–6; –3] U [3; 6]

3. [–3; 3]

4. (–6; –3) U (3; 6)

Найдите 2 cos(7π/2 + α), если cosα = 0,6 и α Є (7π/2; 4π)

Выберите один ответ:

-16

16

1,6

-1,6

Найдите ctg(a), если выполняется равенство

3 ctgα + ctgα · sinα + 3 sinα + 9 = 0

Выберите один ответ:

1. -3

2. 3

3. -2

4. 2

5. 1

Найдите абсолютную величину разности корней уравнения

2 · log₅ₓ ₋₁ (2x² + 1) = 2.

Ответ:            

Найдите значение выражения:

log₉ tg240°.

Ответ:            

Найдите значение выражения

(16a² – 25) · (1/(4a–5) – 1/(4a+5)) + a – 13

при a = 143.

Выберите один ответ:

150

130

140

160

Найдите значение выражения

√65² – 16²

Выберите один ответ:

16

63

49

64

Найдите значение выражения

13 log₁₃7 – 2

Выберите один ответ:

a. 5

b. 13

c. 9

d. 22

Найдите значение выражения

³√3·⁶√3 / √3

Выберите один ответ:

3

1

10

9

Найдите значение выражения:

3 tg(5π/2–α) / 8 cos(3π+α), если α = 5π/6

Ответ:            

Найдите значение выражения

19a¹⁰a¹⁴ : (5a¹²)²

Выберите один ответ:

2,5

7,6

-2,5

0,76

Найдите значение выражения 

x + √x²+24x+144, при x ≤ 12.

Выберите один ответ:

12

-12

-9

9

-10

Найдите значение выражения 

(2√x–7)/√x + 7√x/x

Выберите один ответ:

1

2

6

4

Найдите корень уравнения

2⁴⁸ ⁻ ⁵ ͯ = 128.

Выберите один ответ:

8,2

2,8

-2,8

Найдите корень уравнения

4 4 – x = 0,8 · 5 4 – x.

Выберите один ответ:

3

1

2

4

Найдите корень уравнения (x² – 3x + 2)/(2 – x) = 0. Если корней несколько в ответе укажите их сумму. 

Выберите один ответ:

a. 1

b. 3

c. -1

d. 2

Найдите, на каком отрезке функция y принимает наименьшее значение, равное –3, и наибольшее значение, равное 2

y = log ₁/₂ (x – 5)

Выберите один ответ:

1. [5,25; 13]

2. [4,75; 10]

3. (–3;2)

4. (–5;2)

Найдите наибольшее целое решение неравенства

(x – 5)(x² – 2x – 15) / (x⁴ – 25x²) ≤ 0

Ответ:            

Найдите наименьшее возможное натуральное число, равное отношению среднего арифметического этих чисел к их наибольшему общему делителю.

Выберите один ответ:

401

1701

501

301

Найдите область значений функции

y = 3 · 2 ͯ  + 2

Выберите один ответ:

a. (2; +∞)

b. [2; +∞)

c. (3; +∞)

d. [3; +∞)

Найдите область определения функции

f(x) = √log₀,₅(3 – x) – log₀,₅(x + 4)

Выберите один ответ:

a. (–1/2; 3)

b. (–1/2; ∞)

c. [–1/2; 3)

d. (–4; 3]

e. (–∞;–4)

Найдите область определения функции

y = ⁴√0,5 – (1/2)³ ͯ ⁻ ¹

Выберите один ответ:

a. [2/3; +∞)

b. (–∞; 2/3)

c. [0; +∞)

d. (–∞; 2/3]

Найдите сумму всех корней уравнения

sinx = 0,01x.

Ответ:           

Найдите эскиз графика производной функции y = g`(x), если известно, что функция y = g(x) имеет единственный максимум (см. рис.)

Выберите один ответ:

a. 4

b. 2

c. 1

d. 3

Найти наибольшее значение функции y = x³ + 14x² + 49x + 11 на отрезке [–13; –5,5]

Ответ:            

Найти наименьшее значение функции y = 13 + 27x – x³ на отрезке [–3; 3]

Ответ:           

Найти наименьшее значение функции y = – 10 + 36x – x³/3 на отрезке [–8; –5]

Ответ:           

Найти наименьшее значение функции y = x³ + 9x² + 15 на отрезке [–1,5; 1,5]

Ответ:           

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = – x² + 5x – 4 (ответ представить в виде десятичной дроби, десятичный разделитель – «запятая», ответ округлить до одного знака после запятой)

Ответ:            

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = 27/8 – 3/2 x² (ответ представить в виде десятичной дроби, десятичный разделитель – «запятая», ответ округлить до 2 знаков после запятой)

Ответ:           

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x³, x = –1, x = 0, y = 0. (ответ представить в виде десятичной дроби, десятичный разделитель – «запятая», ответ округлить до 2 знаков после запятой)

Ответ:           

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = sin(x/4); x = 0; x = 2π.

Ответ:           

Найти функцию, являющуюся частным решением дифференциального уравнения y` = –y/x с начальным условием y(1) = 6. В ответе записать значение этой функции при x = 2.

Ответ:           

Найти функцию, являющуюся частным решением дифференциального уравнения y` = x³ с начальным условием y(2) = 0. В ответе записать значение этой функции при x = 1. Ответ представить в виде десятичной дроби с 2 знаками после запятой, десятичный разделитель – «запятая»

Ответ:           

Найти функцию, являющуюся частным решением дифференциального уравнения y` = x⁴ с начальным условием y(2) = 9,4. В ответе записать значение этой функции при x = 1. Ответ представить в виде десятичной дроби с одним знаком после запятой, десятичный разделитель – «запятая»

Ответ:           

Найти функцию, являющуюся частным решением дифференциального уравнения y` = – x⁴ с начальным условием y(2) = – 2,4. В ответе записать значение этой функции при x = 1. Ответ представить в виде десятичной дроби с одним знаком после запятой, десятичный разделитель – «запятая»

Ответ:           

Определите sin²a, если cos2a = 1/2.

Выберите один ответ:

√3/2

3/4

3/8

1/4

Решите неравенство

4 log₂(x + 0,5) / (5¹⁻√ ͯ – 1) ≤ 5√ ͯ log₂(x + 0,5).

Выберите один ответ:

 [0;0,5] U [1;+∞)

 [0;0,5] U (1;+∞)

 (0;0,5) U (1;+∞)

 (0;0,5] U (1;+∞)

Решите неравенство

3 2x²+7 + 3 (x+3)(x+1) – 4 · 3 8x ≥ 0.

Выберите один ответ:

 (−∞;1]∪(3;+∞)

 (−∞;1]∪[3;+∞)

 (−∞;1)∪[3;+∞)

 (−∞;1)∪(3;+∞)

Решите уравнение:

x – √6–x = 6.

Ответ:           

Решите уравнение:

6 + √5x – 7 = 2

Выберите один ответ:

1. корней нет

2. 4,6

3. 16

4. –4,6

Решите уравнение

√3/3 + tg(–x) = 0

Выберите один ответ:

1. π/3 + πn, n Є Z

2. ± π/6 + πn, n Є Z

3. π/6 + πn, n Є Z

4. ± π/3 + πn, n Є Z

Решите уравнение. В ответе укажите корень уравнения или сумму корней, если их несколько

(x – 5) log₁,₂(2 – x)² = 0.

Ответ:           

Решите уравнение (если ответ не один – разделить числа точкой с запятой, без пробелов):

|x – 5| = 5.

Ответ:           

Укажите график, заданной формулой

Выберите один ответ:

1. 2

2. 4

3. 1

4. 3

Укажите абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ox

Выберите один ответ:

a.

b.

c.

d.

Укажите промежуток, которому принадлежат все нули функции

f(x) = √3x+7 – x – 3

Выберите один ответ:

a. [2; 4]

b. [–2; 0]

c. (–2; – 1]

d. (0; 1]

Упростите: 4 : (ctga – tga).

Выберите один ответ:

2tg2a

ctg2a

tg2a

sin2a

Упростите: cos3a/cosa - sin3a/sina.

Выберите один ответ:

2sina

2

2cosa

-2

Упростите: (sin4a – sin6a) : (cos5a*sina).

Выберите один ответ:

-2cosa

-2sina

-2

2sina

Упростите:

(sinα+cosα) / √2cos(π/4–α)

Выберите один ответ:

ctg2α

1

1,6

1,5

Упростите выражение:

sin²2β + 2 sin⁴β + 2 cos⁴β.

Ответ:           

Упростите выражение:

sin(π/2–α)cos(π+α) / ctg(π+α)tg(3π/2–α)

Выберите один ответ:

cos2a·ctg2a

-sin2a

-sin2a·tg2 a

-cos2a

Функция y = f(x) задана на отрезке [–7; 7]. Укажите множество значений аргумента, при которых функция положительна

Выберите один ответ:

a. [–7; –1] U [5; 7]

b. (–5; –3) U [1; 7]

c. [–5; –3] U [6; 7]

d. [–7; –5) U (–5; –1) U (5; 7]