Ответ на вопрос
Чтобы решить задачу, можно использовать динамическое программирование. Давайте обозначим количество способов построить забор длиной ( n ) метров как ( f(n) ). Условия задачи таковы:На первом и последнем метре забора обязательно должны быть доски.Вовочка может пропустить 0, 2 или 7 метров подряд, но не более.Мы можем разбить задачу на подзадачи, основываясь на том, сколько метров забора уже построено.РекурсияЕсли на первом метре уже есть доска, то мы можем рассмотреть следующее:
Если Вовочка прибивает доску на следующий метр (это метр 2), значит, для остального забора длиной ( n - 2 ) способов будет ( f(n - 2) ).Если он пропускает 2 метра (то есть забор с 2 по 3) и ставит доску на 4 метре, значит, для остального забора длиной ( n - 4 ) будет ( f(n - 4) ).Если он пропускает 7 метров (то есть забор с 2 по 8), тогда нам нужны ( f(n - 8) ).Таким образом, у нас есть:( f(1) = 1 ) (на 1 метре только 1 способ — доска).( f(2) = 1 ) (на 1 и 2 метре только 1 способ).( f(3) = 1 ) (доски только на 1 и 3 метрах).( f(4) = 2 ) (доски могут быть на 1, 2 и 4, или на 1 и 3).( f(5) = 3 ) (возможные сочетания: 1, 2, 3, 5; 1, 2, 4; 1, 3, 4).( f(6) = 4 ).( f(7) = 6 ).( f(8) = 7 )....Теперь, чтобы вычислить ( f(n) ), мы можем использовать следующие рекуррентные соотношения:[
f(n) = f(n - 1) + f(n - 2) + f(n - 7)
]ИнициализацияОпределяем базовые значения:( f(1) = 1 )( f(2) = 1 )( f(3) = 1 )( f(4) = 2 )( f(5) = 3 )( f(6) = 4 )( f(7) = 6 )( f(8) = 7 )РезультатТеперь вычислим ( f(20) ), используя динамическое программирование и заполнив массив ( f ) для всех значений до 20:Программируем рекуррентную формулу от 1 до 20, сохраняя значения в массиве.Выведем значение ( f(20) ).В итоге, этот подход позволяет нам подсчитать количество способов построить забор длиной в 20 метров, с учетом всех условий, используя методы динамического программирования.
Еще