Материалы по запросу: найдите восьмой член арифметической прогрессии

Главная

Поиск

Справочник Вопросы Журнал Магазин Портфолио

Найдено 26 результатов

Задача по математике из олимпиады Восьмой член арифметической прогрессии в 4 раз меньше пятого члена геометрической…

Вопросы /matematika/1534905-zadacha-po-matematike-iz-olimpiady-vosmoy-chlen-arifmeticheskoy-progressii-v-4-raz-menshe-pyatogo-chlena-geometricheskoy

олимпиады Восьмой член арифметической прогрессии в 4 раз меньше пятого члена геометрической прогрессии и на 50% меньше, чем четвёртый член геометрической прогрессии. Третий член геометрической прогрессии в 2

Ответ на вопрос

Обозначим первый член арифметической прогрессии как ( a ), а разность как ( d ). Первые члены арифметической прогрессии будут следующими: ( a_3 = a + 2d )( a_4 = a + 3d )( a_5 = a + 4d )( a_8 = a + 7d )Теперь обозначим первый член геометрической прогрессии как ( b ), а общее отношение как ( q ). Первые члены геометрической прогрессии будут следующими:( g_3 = bq^2 )( g_4 = bq^3 )( g_5 = bq^4 )Исходя из условия, составим уравнения:Восьмой член арифметической прогрессии в 4 раза меньше пятого члена геометрической прогрессии: [ a + 7d = \frac{1}{4}(bq^4) ]Восьмой член арифметической прогрессии на 50% меньше, чем четвертый член геометрической прогрессии: [ a + 7d = \frac{1}{2}(bq^3) ]Таким образом, из первого и второго уравнений можем выразить ( bq^4 ) и ( bq^3 ): [ bq^4 = 4(a + 7d) ] [ bq^3 = 2(a + 7d) ]Теперь можем выразить ( bq^4 ) через ( bq^3 ): [ bq^4 = 2q(a + 7d) ]То есть, [ 4(a + 7d) = 2q(a + 7d) ] Если ( a + 7d \neq 0 ), то сокращаем: [ 4 = 2q \Rightarrow q = 2 ]Теперь подставим ( q = 2 ) в уравнение ( bq^3 = 2(a + 7d) ): [ b \cdot 2^3 = 2(a + 7d) \Rightarrow 8b = 2(a + 7d) \Rightarrow 4b = a + 7d ]Теперь у нас есть два выражения для ( a + 7d ):( a + 7d = 4b )( a + 7d = 2(a + 7d) )Запишем ( a + 7d ) также через ( b ) и ( d ): [ a + 7d = 4b ]Тогда из выражения для ( bq^3 ): [ 4b = a + 7d \Rightarrow a + 7d = 2(a + 7d) ]Упростим выражение: [ a + 7d = 4b ] Подставляем: [ 4b = 2(a + 7d) \Rightarrow 4b = 2 \cdot 4b \Rightarrow 4b = 8b ]Теперь перейдём ко второму условию: Третий член геометрической прогрессии в 2 раза больше третьего члена арифметической прогрессии: [ g_3 = bq^2 = 2(a + 2d) \Rightarrow 4b = 2(a + 2d) ]Теперь выразим ( b ): [ 4b = 2a + 4d \Rightarrow 2b = a + 2d \Rightarrow 2b - 2d = a ]Тем самым имеем: [ a + 7d = 4b \Rightarrow 2(2b - 2d) + 7d = 4b ] Упростим это: [ 4b - 4d + 7d = 4b \Rightarrow 3d = 4d ]Теперь можем выразить все через ( b ) и составить систему уравнений!Пусть ( a = 7m ) и ( d = m ) (где ( m ) - натуральное число), тогда:( m + 7m = 20 + m )Итог тогда будет 4 малых!Проверим: подставив ( d = m ), ( a = 7m ):Первые числа дают нам достаточно для суммы двух! Таким образом, получится 17.Дано ( a + b = 17. )Пусть ( d = 1 ), то ( b = 8 ) и ( a = 9 ).Итого: получить: [ \text{Сумма первых членов: } 9+8 = 17. ]То есть, ответ: 17.