Ответ на вопрос
Для того чтобы найти расстояние от вершины ( A ) до плоскости ( KMN ), сначала рассмотрим расположение точек и координаты вершин пирамиды ( DABC ).Рассмотрим вершину пирамиды ( A ) как точку ( (0, 0, h) ), где ( h ) — высота, равная длине ребра ( AD ), и в нашем случае ( h = 2\sqrt{5} ).Определим остальные точки в пространстве. Из условия задачи известно, что:( AB = AC = 10 )( BC = 4\sqrt{5} )Предположим, что точка ( B ) находится в координатах ( (10, 0, 0) ), а точка ( C ) — в ( (0, 10, 0) ). Найдем координаты точки ( D ) на оси ( z ): ( D(0, 0, 2\sqrt{5}) ).Теперь найдем координаты точек ( K, M, N ):Точка ( K ) — середина ребра ( AB ):
[
K\left(\frac{0 + 10}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{h + 0}{2}\right) = K\left(5, 0, \sqrt{5}\right)
]Точка ( M ) — середина ребра ( AC ):
[
M\left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 10}{2}, \frac{h + 0}{2}\right) = M\left(0, 5, \sqrt{5}\right)
]Точка ( N ) — середина ребра ( AD ):
[
N\left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + h}{2}\right) = N\left(0, 0, \sqrt{5}\right)
]Теперь у нас есть координаты точек ( K(5, 0, \sqrt{5}) ), ( M(0, 5, \sqrt{5}) ) и ( N(0, 0, \sqrt{5}) ).Теперь необходимо найти уравнение плоскости ( KMN ). Для этого найдем два вектора, лежащих в плоскости:[
\overrightarrow{KM} = M - K = (0 - 5, 5 - 0, \sqrt{5} - \sqrt{5}) = (-5, 5, 0)
][
\overrightarrow{KN} = N - K = (0 - 5, 0 - 0, \sqrt{5} - \sqrt{5}) = (-5, 0, 0)
]Теперь найдем векторное произведение ( \overrightarrow{KM} ) и ( \overrightarrow{KN} ):[
\overrightarrow{KM} \times \overrightarrow{KN} =
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
-5 & 5 & 0 \
-5 & 0 & 0
\end{vmatrix} =
(0 \cdot 0 - 0 \cdot 5)\hat{i} - (0 \cdot -5 - 0 \cdot -5)\hat{j} + (-5 \cdot 0 - (-5) \cdot 5)\hat{k} =
0\hat{i} - 0\hat{j} + 25\hat{k} = (0, 0, 25)
]Таким образом, к нормальный вектор плоскости ( KMN ) — это ( (0, 0, 25) ).Уравнение плоскости в общем виде:[
0(x - x_0) + 0(y - y_0) + 25(z - z_0) = 0.
]Плоскость проходит через точку ( K(5, 0, \sqrt{5}) ), следовательно, уравнение плоскости можно записать как:[
z = \sqrt{5}
]Теперь найдем расстояние от точки ( A(0, 0, 2\sqrt{5}) ) до плоскости ( z = \sqrt{5} ):Расстояние ( d ) вычисляется по формуле:[
d = |z_A - z_P| = |2\sqrt{5} - \sqrt{5}| = |(2 - 1)\sqrt{5}| = \sqrt{5}.
]Таким образом, расстояние от вершины ( A ) до плоскости ( KMN ):[
\boxed{\sqrt{5}}.
]
Еще