Материалы по запросу: fx ex
Даны полиномы P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+1 и Q(x)=x^4+dx^3+ex^2+fx+1. Какое условие на коэффициенты необходимо…
Даны полиномы P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+1 и Q(x)=x^4+dx^3+ex^2+fx+1. Какое условие на коэффициенты необходимо и достаточно, чтобы у P(x) и Q(x) были одинаковые множители степени 2 с вещественными коэффициентами
Ответ на вопрос
Кратко: необходимое и достаточное условие — существует вещественный монический квадратный множитель \(\,R(x)=x^2+ux+v\) с \(v\neq0\), который делит и \(P\), и \(Q\). Это эквивалентно системе (все коэффициенты вещественны)
\[
\begin{cases}
a=u+p,\\
b=up+v+\dfrac{1}{v},\\
c=\dfrac{u}{v}+vp,
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
d=u+r,\\
e=ur+v+\dfrac{1}{v},\\
f=\dfrac{u}{v}+vr,
\end{cases}
\]
для некоторых вещественных \(p,r\). Эти равенства дают практическую проверку и способ восстановления \(R\).
Алгоритм проверки:
1. Введите \(\Delta_a=a-d,\ \Delta_b=b-e,\ \Delta_c=c-f\).
2. Случай \(\Delta_a\neq0\): вычислите
\[
u=\frac{\Delta_b}{\Delta_a},\qquad v=\frac{\Delta_c}{\Delta_a}.
\]
Если \(v=0\), общий вещественный квадратичный множитель невозможен (потому что постоянные члены множителей должны перемножаться в \(1\)). Иначе проверьте согласованность по любой из эквивалентных формул, например
\[
b=ua-u^2+v+\frac{1}{v}.
\]
Если равенство выполнено (и тогда автоматически выполнится и формула для \(c\)), то \(R(x)=x^2+ux+v\) — искомый общий квадратичный множитель; можно дополнительно поделить \(P\) и \(Q\) на \(R\) для восстановления остальных множителей.
3. Случай \(\Delta_a=0\): тогда необходимо и достаточно, чтобы \(\Delta_b=\Delta_c=0\) (иначе общего множителя степени 2 нет). Если \(\Delta_a=\Delta_b=\Delta_c=0\), то \(P\equiv Q\); в этом случае нужно проверить, факторизуется ли \(P\) на два вещественных квадратичных множителя. Для этого решите систему (неявно та же, что выше) по неизвестным \(u,v,p\) (или просто попытайтесь факторизовать \(P\) численно/алгебраически или выполнить деление на предполагаемый \(R(x)\)). Если находится вещественное \(u,v\) с \(v\neq0\), то общий квадратичный множитель есть.
Замечания:
- При \(\Delta_a\neq0\) достаточно одной проверки (например для \(b\)), в силу вывода системы, в противном случае равенства не совместимы.
- В алгоритме после нахождения \(u,v\) рекомендуется проверить делением многочленов, что \(R(x)\) действительно делит оба многочлена (защита от численной погрешности).
- Эквивалентная универсальная алгебраическая проверка: \(\gcd(P,Q)\) имеет степень \(\ge2\). В вычислениях это можно проверить через вычисление \(\gcd\) над \(\mathbb{R}\) или через нулевой результат соответствующего результата Сильвестра (resultant) для двух корней.
Еще 14
1
Физика Санкт-Петербург СПбГУПТиД КР1,2 Вариант 8 (4+4 задачи)
(4 задачи) Файл 1 1. Зависимость радиус-вектора частицы от времени даётся законом r = bt ex – ct2 ey, где b и c – положительные постоянные. Найти скорость u(t). 2. Зависимость угла поворота
Что часто ищут
Поможем написать учебную работу