Гос экзамен

Подготовить ответы (как шпаргалки) для гос экзамена! Перечень вопросов для государственного экзамена

Раздел 1. Вопросы по математическому анализу, дифференциальным уравнениям 

1. Действительные числа. Аксиоматика множества действительных чисел. Аксиома непрерывности – различные формулировки, их эквивалентность.

2. Предел числовой последовательности – определение и свойства. Теорема Вейерштрасса о сходимости монотонной ограниченной последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции: определение и свойства. Предел функции одной переменной на бесконечности и в точке: различные определения, геометрический смысл, свойства.

4. Различные определения непрерывности функции одной переменной в точке и их эквивалентность. Непрерывность элементарных функций.

5. Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.

6. Дифференцируемость, производная, дифференциал функции одной переменной. Геометрический и физический смысл производной. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью.

7. Основные теоремы дифференциального исчисления функций одной переменной.

8. Исследование функций одной переменной средствами дифференциального исчисления.

9. Первообразная, неопределённый и определённый интегралы. Интегрируемость непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.

10. Понятие квадрируемости плоской фигуры. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла.

11. Основные понятия, связанные с числовыми рядами. Признаки сходимости числовых рядов.

12. Основные понятия, связанные со степенными рядами. Ряд Тейлора. Разложение элементарных функций в степенные ряды.

13. Дифференцируемость, частные производные функций нескольких переменных. Экстремум функции двух переменных.

14. Дифференциальные уравнения первого порядка – основные понятия и способы их решения. Задача Коши.

15. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Структура их общих решений.

Раздел 2. Вопросы по алгебре и теории чисел

1. Группа; примеры и простейшие свойства элементов группы. 

2. Кольца и поля; примеры и простейшие свойства элементов.

3. Свойства простых чисел. Критерий простоты. Теорема о бесконечности множества простых чисел.

4. Алгоритм Евклида и его применения. 

5. Сравнения и их свойства. Теоремы Эйлера и Ферма. 

6. Базис и размерность векторного пространства. 

7. Основные теоремы о системах линейных уравнений. 

8. Корни многочлена, теорема Безу. Схема Горнера. 

9. Разложение многочлена над полем в произведение неприводимых множителей и его единственность.

10. Основная теорема арифметики.

Раздел 3. Вопросы по геометрии

1. Скалярное произведение векторов и его свойства. Применение скалярного произведения векторов к решению задач элементарной геометрии.

2. Уравнения прямой на плоскости. Применение метода координат к решению задач элементарной геометрии.

3. Поверхности второго порядка. Изучение свойств поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям

4. Движения плоскости. Виды движений плоскости. Применение движений при решении задач элементарной геометрии.

5. Построения циркулем и линейкой. Методы решения задач на построение.

6. Изображение плоских и пространственных фигур при параллельном проектировании. Построение изображений многогранников и круглых тел.

7. Аксиоматика Гильберта евклидова пространства. Основные следствия аксиом принадлежности, порядка и конгруэнтности.

8. Аксиома параллельности Лобачевского. Свойства прямых на плоскости Лобачевского.

9. Теорема Дезарга о трехвершинниках. Приложение теоремы Дезарга к геометрическим построениям одной линейкой.

10. Гармонические свойства полного четырехвершинника. Приложения теоремы о полном четырехвершиннике к геометрическим построениям одной линейкой.

Раздел 4. Вопросы по теории вероятностей

1. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формула Байеса.

2. Дискретные и непрерывные случайные величины: определения, функция распределения, плотность вероятности.

3. Экспоненциальный закон распределения случайных величин.