Задание 1 (3б). В линейном пространстве 2 P многочленов степени не...

Задание 1 (3б). В линейном пространстве 2 P многочленов степени не выше 2 даны две системы
2 2
1 2 3 { } { ( ) 1 , ( ) 2 , ( ) 3 } p p t t p t a t p t c t t ? ? ? ? ? ? ? ? и
многочленов
2 2
1 2 3 { } { ( ) 2 , ( ) 3 , ( ) 1 } g g t t t g t t t g t t ? ? ? ? ? ? ? ? ? . Показать, что эти системы многочленов
являются базисами пространства (1б), найти координаты многочлена 2
( ) ( ) f t a b ct dt ? ? ? ? в этих
базисах (1б), найти матрицу перехода от базиса {p} к базису {g} (1б),
Задание 2 (2.5б). ????
В линейном пространстве ?4 даны два подпространства ?1 = ?(?1
????
,?2
,?3
???? ) и
подпространство 2 L , заданное системой уравнений. Найти размерность и базис каждого
подпространства (1б), размерность и базис суммы (0.5б) и пересечения (1б) подпространств.
L ?1
1 :
???? (1,2,0, ) a
?
, ?2
???? (3,4,1, ) b?
, ?3
???? (2, 1,2, ) c
? ?
2 3 0,
x x x
? ? ?
2 3 4
L
2
:
? ? ? ? ? ?
?
cx dx bx ax
0
1 2 3 4
?
Задание 3 (2.5б). Задан линейный оператор
: A V W ? , в некоторых базисах {?? ? } пространства V и
{??? } пространства W имеющий матрицу А. Найти базисы образа (1б) и ядра линейного оператора (1б),
указать его ранг и дефект (0,5б).
1 3 2 2 5
? ? ? ? ? ?
2 2 3 2 5
A
3 1 1 2 2
? ? ? ? ?
1 1 1 1 0
? ? ?
?
Задание 4(2.5б). Задан линейный оператор
: A V V ? , в некотором базисе {?? ? } пространства V
имеющий матрицу А. Найти вещественные собственные значения (0.5б) и собственные векторы
оператора, отвечающие этим собственным значениям (1б). Указать алгебраические и геометрические
кратности собственных значений оператора(0,5б). Является ли оператор диагонализируемым? (0,5б)
5 2 10 3
? ? ? ? ? ? ? ? ?
0 2 1 0
A
? ? ? ?
0 1 0 0
? ?
6 0 12 4
? ? ?
?
Задание 5(3б). В линейном пространстве ?4 задана квадратичная форма ?
(? ). Привести
квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа (1б), указав невырожденное
преобразование переменных и матрицу перехода к каноническому базису (0,5б); указать матрицы
квадратичной формы в исходном и каноническом базисах (0,5б). Указать положительный,
отрицательный индексы инерции (спектр) квадратичной формы, её ранг и сигнатуру (0,5б). Определить
тип знакоопределенности квадратичной формы (положительно, отрицательно, квазиположительно,
квазиотрицательно определенная или знакопеременная) (0,5б)
?
?
(? ) 2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 1 4 2 3 3 4 (2 ) (3 ) ( 5) ( 4) 4 2 6 2 a b x c d x b x d x x x x x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
Задание 6(2б). В линейном пространстве ?4 задана квадратичная форма ?
(? ). Найти канонический
вид КФ без поиска преобразования (1б) и исследовать на знакоопределенность (1б).
?
?
(? ) 2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 5 2 6 2 2 4 x x x x x x x x x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ?
Задание 7 (2.5б). В евклидовом пространстве ?3 со стандартным скалярным произведением
построить ортонормированный базис подпространства
L L? ? ? ? ? ? ? a a a (1.5б). Найти ортогональную проекцию вектора
? ?1 2 3 (1,2,1), (4,4,1), ( 1, 2, 1)
x на это подпространство и его ортогональную составляющую (1б).
(2,3, 2)? ?
Задание 8 (2б). Убедиться, что матрица G является матрицей Грама скалярного произведения в базисе
{1,sin ,cos } x x 3-мерного подпространства непрерывных функций (1б). Найти “расстояние” и “угол”
между функциями ( ) 1 2sin 4cos f x x x ? ? ? и ( ) 3 sin 2cos f x x x ? ? ? ? (1б).
3 2 0
? ? ? ? ?
G
2 3 1
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?