Задача по Конституционному праву

Задача: Президент РФ подписал указ об отставке Правительства РФ и временном возложении обязанностей Председателя Правительства РФ на руководителя Администрации Президента РФ. Через месяц Президент РФ издал указ о возложении обязанностей Председателя Правительства РФ на себя, и Депутаты Государственной Думы абсолютным большинством голосов поддержали это решение. Через месяц, уезжая в отпуск, Президент РФ назначил исполняющим обязанности Председателя Правительства РФ министра культуры России.

Вправе ли Президент производить кадровые перестановки в Правительстве РФ? Может ли Правительство после отставки принимать решения в обычном порядке до формирования нового Правительства РФ?