Численные методы

Для таблично заданной функции {xi,yi}, i=0,1,...,6 решить следующие задачи:

1. Вычислить значение функции y(x) в заданной точке x [x0,x6], используя линейную интерполяцию.
2. Вычислить значение функции y(x) в точке на основе квадратичной интерполяции (многочленом Лагранжа второй степени).
3. Для заданной функции y(x) построить аппроксимирующий многочлен третьей степени φ(x) = Ax3 + Bx2 + Cx + D на отрезке [x0,x6] методом наименьших квадратов. При этом определение коэффициентов A,B,C,D из системы линейных алгебраических уравнений выполнить методом Гаусса. Найти значение аппроксимирующей функции φ(x) в заданной точке .
4. Вычислить величину определенного интеграла для таблично заданной функции y(x) методом трапеций. Сравнить полученное значение с величиной, определенной по формуле Ньютона -Лейбница.
5. Найти наибольшее (φmax) и наименьшее (φmin) значения для непрерывной на отрезке [x0,x6] функции φ(x). Определить точки xmax и xmin, в которых эти значения достигаются. Задачу решить двумя способами:

a)   методом дифференциального исчисления;

b)  численным методом золотого сечения.

Сравнить результаты двух подходов.

       6. Найти один из нулей функции φ(x) (корень уравнения φ(x) = 0 ) методом деления отрезка пополам (бисекции) с точностью ε = 0.01.

Предлагаемое задание может быть выполнено либо вручную (с оформлением отчета в текстовом редакторе), либо с применением электронной таблицы (с добавлением в файл текстов заданий и необходимых текстовых комментариев), либо комбинируя ручное выполнение с расчетами в электронной таблице.